2011_退役省自主命题 (2011·理)
14．（5分）（2011•湖南）在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=2 \overrightarrow{\mathrm{BD}}, \overrightarrow{\mathrm{CA}}=3 \overrightarrow{\mathrm{CE}}$ 则
$\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=$ $\_\_\_\_$ ．
【解答】
在边长为1的正三角形 $A B C$ 中，设 $\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{C A}=3 \overrightarrow{C E}$
，则 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B E}=$ $\_\_\_\_$。
国3
答案：$-\frac{1}{4}$
解析：由题 $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{C A}=\frac{1}{2} \overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{B E}=\overrightarrow{C E}-\overrightarrow{C B}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C A}-\overrightarrow{C B}$ ，
所以 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B E}=\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C A}\right) \cdot\left(\frac{1}{3} \overrightarrow{C A}-\overrightarrow{C B}\right)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{7}{6} \overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C A}=-\frac{1}{4}$ 。