2011年高考数学真题及答案解析

1．（5分）（2011•北京）已知集合 $\mathbf { P } { = } \{ \mathbf { x } | \mathbf { x } ^ { 2 } { \leq } 1 \}$ }，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（）

2．（5分）（2011•北京）复数 $\frac { \mathrm { i } - 2 } { 1 + 2 \mathrm { i } } =$ （ ）A．i B．﹣i C $- \frac { 4 } { 5 } - \frac { 3 } { 5 } \mathbf { i }$ D $- \frac { 4 } { 5 } + \frac { 3 } { 5 } i$

4．（5分）（2011•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）

5．（5分）（2011•北京）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：

① $_ { \mathrm { A D + A E = A B + B C + C A } }$ ；② $\mathrm { A F } \bullet \mathrm { A G } { = } \mathrm { A D } { \bullet } \mathrm { A }$ E③△AFB～△ADG

其中正确结论的序号是（　　）

8．（5分）（2011•北京）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（　　）

12．（5分）（2011•北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有　14　个．（用数字作答）

18．（13分）（2011•北京）已知函数 $f ( \mathbf { x } ) = \left( \mathbf { x } - \mathrm { k } \right) \ ^ { 2 } \mathbf { \rho } _ { \mathsf { e } } ^ { \frac { \mathbf { x } } { \mathrm { k } } } .$

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的 $\mathbf { \xi } _ { \mathbf { X } } \in \mathbf { \xi } \left( 0 , \mathbf { \xi } + \infty \right)$ ，都有f $( \mathbf { x } ) \mathbf { \Psi } \leq \frac { 1 } { \mathsf { e } } ,$ ，求k的取值范围

1．（5分）（2011•北京）已知集合 $P=\left\{x \mid x^{2} \leq 1\right\}, M=\{a\}$ ．若 $P \cup M=P$ ，则 $a$ 的取值范围是 ）

2．（5分）（2011•北京）复数 $\frac{i-2}{1+2 i}=$

3．（5分）（2011•北京）在极坐标系中，圆 $\rho=-2 \sin \theta$ 的圆心的极坐标系是

4．（5分）（2011•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）

5．（5分）（2011•北京）如图， $\mathrm{AD}, \mathrm{AE}, \mathrm{BC}$ 分别与圆 O 切于点 $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ ，延长 AF 与圆 O交于另一点G．给出下列三个结论：
① $\mathrm{AD}+\mathrm{AE}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$ ；② $\mathrm{AF} \bullet \mathrm{AG}=\mathrm{AD} \bullet \mathrm{AE}$③$\triangle \mathrm{AFB} \sim \triangle \mathrm{ADG}$
其中正确结论的序号是（）

6．（5分）（2011•北京）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟
）为 （A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装
第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（　　）

7．（5分）（2011•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）

8．（5分）（2011•北京）设 $\mathrm{A}(0,0), \mathrm{B}(4,0), \mathrm{C}(\mathrm{t}+4,4), \mathrm{D}(\mathrm{t}, 4)(\mathrm{t} \in \mathrm{R})$ 。记 $\mathrm{N} ~(\mathrm{t}) ~$ 为平行四边形 ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 $N(t)$ 的值域为（ ）

9．（5分）（2011•北京）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中．若 $\mathrm{b}=5, \quad \angle \mathrm{~B}=\frac{\pi}{4}, \tan \mathrm{~A}=2$ ，则 $\sin \mathrm{A}=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ； $\mathrm{a}= 2 \sqrt{10}$ ．

14．（5分）（2011•北京）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的
积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a 2．
其中，所有正确结论的序号是　②③　．

11．（5分）（2011•北京）在等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中， $\mathrm{a}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{a}_{4}=-4$ ，则公比 $\mathrm{q}=$ $\_\_\_\_$ －2
$;\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\ldots+\left|a_{n}\right|=-2^{n-1}-\frac{1}{2}-$.

12．（5分）（2011•北京）用数字 2 ， 3 组成四位数，且数字 2 ， 3 至少都出现一次，这样的四位数共有 $\_\_\_\_$ 14个．（用数字作答）

13．（5分）（2011•北京）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}, x \geqslant 2 \\ (x-1)^{3}, x<2\end{array}\right.$ 若关于 $x$
的方程 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{k}$ 有两个不同的实根，则数 k 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $(0,1)$。

14．（5 分）（2011 • 北京）曲线 C 是平面内与两个定点 $\mathrm{F}_{1}(-1,0)$ 和 $\mathrm{F}_{2}(1,0)$ 的距离的积等于常数 $\mathrm{a}^{2}(\mathrm{a}>1)$ 的点的轨迹。给出下列三个结论：
①曲线 C 过坐标原点；
②曲线 C 关于坐标原点对称；
③若点 P 在曲线 C 上，则 $\triangle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}$ 的面积不大于 $\frac{1}{2} \mathrm{a}^{2}$ 。
其中，所有正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ②③ ．

3．如果 $\log _{\frac{1}{2}} x<\log _{\frac{1}{2}} y<0$ ，那么

7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元．若每批生产

x 件，则平均仓储时间为 $\frac{x}{8}$ 天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元．为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品

9．在 $\triangle A B C$ 中．若 $\mathrm{b}=5, \angle B=\frac{\pi}{4}, \sin \mathrm{~A}=\frac{1}{3}$ ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ ．

13．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{x}, & x \geq 2 \\ (x-1)^{3}, & x<2\end{array}\right.$ 若关于 x
的方程 $f(x)=k$ 有两个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

14．设 $A(0,0), B(4,0), C(t+4,3), D(t, 3)(t \in R)$ 。记 $N(t)$ 为平行四边形 $A B C D$ 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 $N(0)=$ $\_\_\_\_$
$N(t)$ 的所有可能取值为 $\_\_\_\_$

三、解答题6小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

20．（本小题共13分）
若数列 $A_{n}: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(n \geq 2)$ 满足 $\left|a_{k+1}-a_{k}\right|=1(k=1,2, \cdots, n-1)$ ，则称 $A_{n}$ 为 $E$ 数列，记 $S\left(A_{n}\right)=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$.
（I）写出一个E数列 $\mathrm{A}_{5}$ 满足 $a_{1}=a_{3}=0$ ；
（II）若 $a_{1}=12, \mathrm{n}=2000$ ，证明：E数列 $A_{n}$ 是递增数列的充要条件是 $a_{n}=2011$ ；
（III）在 $a_{1}=4$ 的 E 数列 $A_{n}$ 中，求使得 $S\left(A_{n}\right)=0$ 成立得 n 的最小值．

1．（5分）复数 $z=1+i, \bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $z \cdot \bar{z}-z-1=$（）

2．（5分）函数 $y=2 \sqrt{x}(x \geq 0)$ 的反函数为（ ）

3．（5分）下面四个条件中，使 $\mathrm{a}>\mathrm{b}$ 成立的充分而不必要的条件是