2015_新课标 II 卷 (2015·理)
10．（5分）如图，长方形 ABCD 的边 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{BC}=1, \mathrm{O}$ 是 AB 的中点，点 P 沿着边 B $C$ ，$C D$ 与 $D A$ 运动，记 $\angle B O P=x$ ．将动点 $P$ 到 $A$ ，$B$ 两点距离之和表示为 $x$ 的函数 $f$ （ $x$ ），则 $y=f ~(x)$ 的图象大致为（ ）
【考点】HC：正切函数的图象．
【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．
【解答】解：当 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ 时，$B P=\tan x, A P=\sqrt{A^{2}+B P^{2}}=\sqrt{4+\tan ^{2} x}$ ，
此时 $f(x)=\sqrt{4+\tan ^{2} x}+\tan x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ ，此时单调递增，
当 P 在 CD 边上运动时，$\frac{\pi}{4} \leq \mathrm{x} \leq \frac{3 \pi}{4}$ 且 $\mathrm{x} \neq \frac{\pi}{2}$ 时，
如图所示， $\tan \angle \mathrm{POB}=\tan (\pi-\angle \mathrm{POQ})=\tan \mathrm{x}=-\tan \angle \mathrm{POQ}=-\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{OQ}}=-\frac{1}{\mathrm{OQ}}$ ，
$\therefore \mathrm{OQ}=-\frac{1}{\tan \mathrm{x}}$ ，
$\therefore \mathrm{PD}=\mathrm{AO}-\mathrm{OQ}=1+\frac{1}{\tan \mathrm{x}}, \quad \mathrm{PC}=\mathrm{BO}+\mathrm{OQ}=1-\frac{1}{\tan \mathrm{x}}$ ，
$\therefore \mathrm{PA}+\mathrm{PB}=\sqrt{\left(1-\frac{1}{\tan \mathrm{x}}\right)^{2}+1}+\sqrt{\left(1+\frac{1}{\tan \mathrm{x}}\right)^{2}+1}$ ，
当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时，$P A+P B=2 \sqrt{2}$ ，
当 P 在 AD 边上运动时，$\frac{3 \pi}{4} \leq \mathrm{x} \leq \pi, \mathrm{PA}+\mathrm{PB}=\sqrt{4+\tan ^{2} \mathrm{x}}-\tan \mathrm{x}$ ，
由对称性可知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 关于 $\mathrm{x}=\frac{\pi}{2}$ 对称，
且 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)>f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ，且轨迹为非线型，
排除A，C，D，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ 时的解析式是解决本题的关键．