（本题满分 14 分） π 为圆周率， e=2.71828…——2014 高考数学第 22 题答案解析

【答案】（1）单调增区间为 $(0, e)$ ，单调减区间为 $(e,+\infty)$ ；（2）最大数为 $3^{n}$ ，最小数为 $3^{e}$ ；③ $3^{e}, e^{3}$ ， $\pi^{e}, e^{\pi}, \pi^{3}, 3^{\pi}$.

## 【解析】

试题分析：（1）先求函数 $f(x)$ 的定义域，用导数法求函数 $f(x)$ 的单调区间；（2）利用①的结论结合函数根据函数 $y=\ln x , y=e^{x} , y=\pi^{x}$ 的性质，确定 $e^{3}, 3^{e}, e^{\pi}, \pi^{e}, 3^{\pi}, \pi^{3}$ 这 6 个数中的最大数与最小数；（3）由①，（2）的结论只需比较 $e^{3}$ 与 和 $e^{n}$ 与 $\pi^{3}$ 的十小， $02-\frac{e}{\pi}$ ，整理得 $e \ln \pi>e\left(2-\frac{e}{\pi}\right)$ ，估算 $e\left(2-\frac{e}{\pi}\right)$ 的值，比较 $e\left(2-\frac{e}{\pi}\right)$ 与 3 的大小，八而确定 $e^{3}$ 与 $\pi^{e}$ 的大小关系，再根据 $3 \ln \pi>6-\frac{3 e}{\pi}>6-e>\pi$ ，确定 $e^{\pi}$ 与 $\pi^{3}$ 的大小关系，最后确定 6 个数从小到大的顺序。

试题解析：（1）函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ ，因为 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ ，所以 $f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$ ，当 $f^{\prime}(x)>0$ ，即 $0

当 $f^{\prime}(x)<0$ ，即 $x>e$ 时，函数 $f(x)$ 单调迷减；
故函数 $f(x)$ 的单调增区间为 $(0, e)$ ，单调减区间为 $(e,+\infty)$ ．
（2）因为 $e<3<\pi$ ，所以 $e \ln 3

故这 6 个数的最大数在 $\pi^{3}$ 与 $3^{\pi}$ 之中，最小数在 $3^{e}$ 与 $e^{3}$ 之中，

由 $e<3<\pi$ 及①的结论得 $f(\pi)由 $\frac{\ln \pi}{\pi}<\frac{\ln 3}{3}$ 得 $\ln \pi^{3}<\ln 3^{\pi}$ ，所以 $3^{\pi}>\pi^{3}$ ，
由 $\frac{\ln 3}{3}<\frac{\ln e}{e}$ 得 $\ln 3^{e}<\ln e^{3}$ ，所以 $3^{e}综上， 6 个数中的最大数为 $3^{\pi}$ ，吱小数为 $3^{e}$ ．
③由（2）知， $3^{e}<\pi^{e}<\pi^{3}, 3^{e}故只需比较 $e^{3}$ 与 $\pi^{e}$ 和 $e^{n}$ 与 $\pi^{3}$ 的大小，
由①知，当 $0在上式中，令 $x=\frac{e^{2}}{\pi}$, 又 $\frac{e^{2}}{\pi}2-\frac{e}{\pi}$①
由①得，$e \ln \pi>e\left(2-\frac{e}{\pi}\right)>2.7 \times\left(2-\frac{2.71}{3.1}\right)>2.7 \times(2-0.88)=3.024>3$ ，
即 $e \ln \pi>3$ ，亦即 $\ln \pi^{e}>\ln e^{3}$ ，所以 $e^{3}<\pi^{e}$ ，
又由①得， $3 \ln \pi>6-\frac{3 e}{\pi}>6-e>\pi$ ，即 $3 \ln \pi>\pi$ ，所以 $e^{\pi}>\pi^{3}$ ，
综上所述， $3^{e}