16．设 $\lambda \in[0,1]$ ，数列 $a_{n}=10 n-9$ ，数列 $b_{n}=2^{n}$ 。设 $c_{n}=\lambda a_{n}+(1-\lambda) b_{n}$ 。 若对任意$\lambda \in[0,1]$ ，长为 $a_{n} , b_{n} , c_{n}$ 的线段均能构成三角形，则满足条件的 n 有（）
参考答案
B
设 λ [0,1]，数列 a_ n =10 n-9，数列…——2025 高考数学第 16 题答案解析
2025_上海卷 (2025)
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【答案】B
【解析】不妨设 $A\left(n, a_{n}\right), B\left(n, b_{n}\right), C\left(n, c_{n}\right)$ ，由 $c_{n}=\lambda a_{n}+(1-\lambda) b_{n} \Rightarrow C$ 在线段 $A B$ 上，故令 $10 x-9=2^{x} \Rightarrow x_{1} \in(1,2), x_{2} \in(5,6)$故列举：
当 $n=1$ 时，$A(1,1), B(1,2), \lambda=1 \Rightarrow C(1,1) \Rightarrow a_{n}+c_{n}=b_{n}$ 显然不成立；当 $n=2$ 时，$A(2,11), B(2,4), \lambda=0 \Rightarrow C(2,4) \Rightarrow b_{n}+c_{n}<a_{n}$ 显然不成立；
同理易得当 $n \in\{2,3,4,5\}$ 时，$b_{n}+c_{n}>a_{n} \Rightarrow n=4$ 或 $n=5$ ；
当 $n>5$ 时， $2 a_{n}>b_{n} \Rightarrow n=6$ ；
综上，应为3个。
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