V A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,…——2019 高考数学第 17 题答案解析

【答案】①$A=\frac{\pi}{3}$
② $\sin C=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ ．
【解析】
【分析】

（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：$b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c$ ，从而可整理出 $\cos A$ ，根据 $A \in(0, \pi)$ 可求得结果；（2）利用正弦定理可得 $\sqrt{2} \sin A+\sin B=2 \sin C$ ，利用 $\sin B=\sin (A+C)$ 、两角和差正弦公式可得关于 $\sin C$ 和 $\cos C$ 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果．

【详解】①$(\sin B-\sin C)^{2}=\sin ^{2} B-2 \sin B \sin C+\sin ^{2} C=\sin ^{2} A-\sin B \sin C$

即： $\sin ^{2} B+\sin ^{2} C-\sin ^{2} A=\sin B \sin C$

由正弦定理可得：$b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c$
$\therefore \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{1}{2}$
$\because A \in(0, \pi) \quad \backslash A=\frac{\pi}{3}$
②$\because \sqrt{2} a+b=2 c$ ，由正弦定理得：$\sqrt{2} \sin A+\sin B=2 \sin C$
又 $\sin B=\sin (A+C)=\sin A \cos C+\cos A \sin C, A=\frac{\pi}{3}$
$\therefore \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos C+\frac{1}{2} \sin C=2 \sin C$
整理可得： $3 \sin C-\sqrt{6}=\sqrt{3} \cos C$
$\because \sin ^{2} C+\cos ^{2} C=1 \quad \therefore(3 \sin C-\sqrt{6})^{2}=3\left(1-\sin ^{2} C\right)$
解得： $\sin C=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ 或 $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
因为 $\sin B=2 \sin C-\sqrt{2} \sin A=2 \sin C-\frac{\sqrt{6}}{2}>0$ 所以 $\sin C>\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，故 $\sin C=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ ．
（2）法二：$\because \sqrt{2} a+b=2 c$ ，由正弦定理得：$\sqrt{2} \sin A+\sin B=2 \sin C$
又 $\sin B=\sin (A+C)=\sin A \cos C+\cos A \sin C, A=\frac{\pi}{3}$
$\therefore \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos C+\frac{1}{2} \sin C=2 \sin C$
整理可得： $3 \sin C-\sqrt{6}=\sqrt{3} \cos C$ ，即 $3 \sin C-\sqrt{3} \cos C=2 \sqrt{3} \sin \left(C-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{6}$

$\therefore \sin \left(C-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \therefore C=\frac{5 \pi}{12}$ 或 $\frac{11 \pi}{12}$
$\because A=\frac{\pi}{3}$ 且 $A+C<\pi \quad \therefore C=\frac{5 \pi}{12}$
$\therefore \sin C=\sin \frac{5 \pi}{12}=\sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right)=\sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系。