如图，已知四棱台 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_…——2015 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）详见解析；（2） 24。

## 【解析】

试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标可知问题等价于证明 $\overrightarrow{A B_{1}} \cdot \overrightarrow{P Q}=0$；②根据条件二面角 $P-Q D-A$ 的余弦值为 $\frac{3}{7}$，利用空间向量可将四面体 $A D P Q$ 视为以 $\triangle A D Q$ 为底面的三棱锥 $P-A D Q$，其高 $h=4$，从而求解

试题解析：解法一 由题设知，$A A_{1}, A B, A D$ 两两垂直，以 $A$ 为坐标原点，$A B, A D, A A_{1}$ 所在直线分别为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴，建立如图 b 所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为 $A(0,0,0), B_{1}(3,0,6)$， $D(0,6,0), D_{1}(0,3,6), Q(6, m, 0)$，其中 $m=B Q, 0 \leq m \leq 6$，
（1）若 $P$ 是 $D D_{1}$ 的中点，则 $P\left(0, \frac{9}{2}, 3\right), \overline{A B_{1}}=(3,0,6)$，于是 $\overline{A B_{1}} \cdot \overline{P Q}=18-18=0, \therefore \overline{A B_{1}} \perp \overline{P Q}$，即 $A B_{1} \perp P Q$；②由题设知，$\overline{D Q}=(6, m-6,0), \overline{D D_{1}}=(0,-3,6)$ 是平面 $P Q D$ 内的两个不共线向量．

设 $\overrightarrow{n_{1}}=(x, y, z)$ 是平面 $P Q D$ 的一个法向量，则 $\left\{\begin{array}{c}\overline{n_{1}} \cdot \overline{D Q}=0 \\ \overline{n_{1}} \cdot \overline{D D_{1}}=0\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{c}6 x+(m-6) y=0 \\ -3 y+6 z=0\end{array}\right.$，
取 $y=6$，得 $\overrightarrow{n_{1}}=(6-m, 6,3)$，又平面 $A Q D$ 的一个法向量是 $\overrightarrow{n_{2}}=(0,0,1)$，

$\therefore \cos \left\langle\overline{n_{1}}, \overline{n_{2}}\right\rangle=\frac{n_{1} \cdot n_{2}}{\left|n_{1}\right| \cdot\left|n_{2}\right|}=\frac{3}{\sqrt{(6-m)^{2}+6^{2}+3^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{(6-m)^{2}+45}}$，而二面角 $P-Q D-A$ 的余弦值为 $\frac{3}{7}$，因此 $\frac{3}{\sqrt{(6-m)^{2}+45}}=\frac{3}{7}$，解得 $m=4$，或者 $m=8$（舍去），此时 $Q(6,4,0)$，

设 $\overrightarrow{D P}=\lambda \overrightarrow{D D_{1}}(0<\lambda \leq 1)$，而 $\overrightarrow{D D_{1}}=(0,-3,6)$，由此得点 $P(0,6-3 \lambda, 6 \lambda)$，
$\overrightarrow{P Q}=(6,3 \lambda-2,-6 \lambda), \because P Q / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$，且平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的一个法向量是 $\overrightarrow{n_{3}}=(0,1,0)$，
$\therefore \overline{P Q} \cdot \vec{n}_{3}=0$，即 $3 \lambda-2=0$，亦即 $\lambda=\frac{2}{3}$，从而 $P(0,4,4)$，于是，将四面体 $A D P Q$ 视为以 $\triangle A D Q$ 为底面的三棱锥 $P-A D Q$，则其高 $h=4$，故四面体 $A D P Q$ 的体积 $V=\frac{1}{3} S_{\triangle A D Q} \cdot h=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times 4=24$．

解法二（1）如图 $c$，取 $A_{1} A$ 的中点 $R$，连结 $P R, B R, \because A_{1} A, D_{1} D$ 是梯形 $A_{1} A D_{1} D$ 的两腰，$P$ 是 $D_{1} D$的中点，$\therefore P R / / A D$，于是由 $A D / / B C$ 知，$P R / / B C, \therefore P, R, B, C$ 四点共面，

由题设知，$B C \perp A B, B C \perp A_{1} A, \therefore B C \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$，因此 $B C \perp A B_{1}$（1）， $\because \tan \angle A B R=\frac{A R}{A B}=\frac{3}{6}=\frac{A B_{1}}{A_{1} A}=\tan \angle A_{1} A B_{1}, \therefore \tan \angle A B R=\tan \angle A_{1} A B_{1}$，因此
$\angle A B R+\angle B A B_{1}=\angle A_{1} A B_{1}+\angle B A B_{1}=90^{\circ}$，于是 $A B_{1} \perp B R$，再由（1）即知 $A B_{1} \perp$ 平面 $P R B C$，又 $P Q \subset$平面 $P R B C$，故 $A B_{1} \perp P Q$；

图c

图d

（2）如图 d，过点 $P$ 作 $P M / / A_{1} A$ 交 $A D$ 于点 $M$，则 $P M / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$，
$\because A_{1} A \perp$ 平面 $A B C D, \therefore O M \perp$ 平面 $A B C D$，过点 $M$ 作 $M N \perp Q D$ 于点 $N$，连结 $P N$，则 $P N \perp Q D$，
$\angle P N M$ 为二面角 $P-Q D-A$ 的平面角，$\therefore \cos \angle P N M=\frac{3}{7}$，即 $\frac{M N}{P N}=\frac{3}{7}$，从而 $\frac{P M}{M N}=\frac{\sqrt{40}}{3}$（3）
连结 $M Q$，由 $P Q / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}, \therefore M Q / / A B$，又 $A B C D$ 是正方形，所以 $A B Q M$ 为矩形，故
$M Q=A B=6$，设 $M D=t$，则 $M N=\frac{M Q \cdot M D}{\sqrt{M Q^{2}+M D^{2}}}=\frac{6 t}{\sqrt{36+t^{2}}}$④，过点 $D_{1}$ 作 $D_{1} E / / A_{1} A$ 交 $A D$ 于点
$E$，则 $A A_{1} D_{1} E$ 为矩形，$\therefore D_{1} E=A_{1} A=6, A E=A_{1} D_{1}=3$，因此 $E D=A D-A E=3$，于是
$\frac{P M}{M D}=\frac{D_{1} E}{E D}=\frac{6}{3}=2, \therefore P M=2 M D=2 t$，再由③④得 $\frac{\sqrt{36+t^{2}}}{3}=\frac{\sqrt{40}}{3}$，解得 $t=2$，因此 $P M=4$，
故四面体 $A D P Q$ 的体积 $V=\frac{1}{3} S_{\triangle A D Q} \cdot h=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times 4=24$．
【考点定位】1．空间向量的运用；2．线面垂直的性质；3．空间几何体体积计算．
【名师点睛】本题主要考查了线面垂直的性质以及空间几何体体积计算，属于中档题，由于空间向量工具的引入，使得立体几何问题除了常规的几何法之外，还可以考虑利用向量工具来解决，因此有关立体几何的问题，可以建立空间直角坐标系，借助于向量知识来解决，在立体几何的线面关系中，中点是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找＂中点＂，连＂中点＂，即可出现平行线而线线平行是平行关系的根本，在垂直关系的证明中线线垂直是核心，也可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．