19．如图，已知四棱台 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，$A A_{1}=6$，且 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C D$，点 $P, Q$ 分别在棱 $D D_{1}, \mathrm{BC}$ 上。
（1）若 P 是 $D D_{1}$ 的中点，证明：$A B_{1} \perp P Q$；
（2）若 $P Q / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$，二面角 $P-Q D-A$ 的余弦值为 $\frac{3}{7}$，求四面体 $A D P Q$ 的体积．
参考答案(1) 详见解析; (2) 24