（12分）（2011•湖南）在 ABC 中，角A，B，C所…_2011??高考数学第17题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

17．（12分）（2011•湖南）在 $	riangle \mathrm{ABC}$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $c \sin \mathrm{A}=\mathrm{a} \cos \mathrm{C}$ ．
（1）求角 C 的大小；
（2）求 $\sqrt{3} \sin \mathrm{~A}-\cos \left(\mathrm{B}+\frac{\pi}{4}ight)$ 的最大值，并求取得最大值时角 A 、 B 的大小．

Accepted Answer

【解答】 （本小题满分 12 分）在 $	riangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $c \sin A=a \cos C$ ． （I）求角 $C$ 的大小； （II）求 $\sqrt{3} \sin A-\cos \left(B+\frac{\pi}{4}ight)$ 的最大值，并求取得最大值时角 $A, B$ 的大小． 解析：（1）由正弦定理得 $\sin C \sin A=\sin A \cos C$ ． 因为 $0 0$ ．从而 $\sin C=\cos C$ ．又 $\cos C 
eq 0$ ，所以 $	an C=1$ ，则 $C=\frac{\pi}{4}$ （II）由（I）知 $B=\frac{3 \pi}{4}-A$ ．于是 $$ \begin{aligned} & \sqrt{3} \sin A-\cos \left(B+\frac{\pi}{4}ight)=\sqrt{3} \sin A-\cos (\pi-A) \ & =\sqrt{3} \sin A+\cos A=2 \sin \left(A+\frac{\pi}{6}ight) . \ & \because 0<A<\frac{3 \pi}{4}, 	herefore \frac{\pi}{6}<A+\frac{\pi}{6}<\frac{11 \pi}{12}, 	ext { 从而当 } A+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}, 	ext { 即 } A=\frac{\pi}{3} 	ext { 时, } \end{aligned} $$ $2 \sin \left(A+\frac{\pi}{6}ight)$ 取最大值 2 。 综上所述，$\sqrt{3} \sin A-\cos \left(B+\frac{\pi}{4}ight)$ 的最大值为 2 ，此时 $A=\frac{\pi}{3}, B=\frac{5 \pi}{12}$ ．

（12分）（2011•湖南）在 ABC 中，角A，B，C所…——2011 高考数学第 17 题答案解析

完整解析 · 逐步详解

同类专题与考点

返回上层