（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= (a+2…——2014 高考数学第 16 题答案解析

【答案】（1）$a=-1, \theta=\frac{\pi}{2}$，②$\frac{4-3 \sqrt{3}}{10}$．

【解析】

试题分析：（1）根据奇偶性定义，可得等量关系：$f(-x)=-f(x)$，即 $\left(a+2 \cos ^{2} x\right) \cos (-2 x+\theta)=-\left(a+2 \cos ^{2} x\right) \cos (2 x+\theta)$，因为 $x \in R$，所以
$\cos (-2 x+\theta)=-\cos (2 x+\theta), \cos 2 x \cos \theta=0, \cos \theta=0$。 $\theta \in(0, \pi)$，所以 $\theta=\frac{\pi}{2}$。因为 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$，所以 $\left(a+2 \cos ^{2} \frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=0, a=-1$。②由（1）得：
$f(x)=\left(-1+2 \cos ^{2} x\right) \cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos 2 x(-\sin 2 x)=-\frac{1}{2} \sin 4 x$，भ以由 $f\left(\frac{\alpha}{4}\right)=-\frac{2}{5}$，得 $-\frac{1}{2} \sin \alpha=-\frac{2}{5}, \sin \alpha=\frac{4}{5}$，又 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，所以 $\cos c=-\frac{3}{5}$，因坚
$\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi}{3}+\sin \frac{\pi}{3} \cos \alpha=\frac{4-3 \sqrt{3}}{10}$．

试题解析：（1）因为函数 $f(x)=\left(a+2 \cos ^{2} x\right) \cos (2 x+\theta)$ 为奇函数，所以 $f(-x)=-f(x)$，即 $\left(a+2 \cos ^{2} x\right) \cos (-2 x+\theta)=-\left(a+2 \cos ^{2} x\right) \cos (2 x-\theta)$，因头 $x \in R$，所以 $\cos (-2 x+\theta)=-\cos (2 x+\theta), \cos 2 x \cos \theta=0, \cos \theta=0$．又 $\theta \in(0, \pi)$，所以 $\theta=\frac{\pi}{2}$。因为 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$，所以 $\left(a+2 \cos ^{2} \frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=0, a=-1$。②由（1）得：
$f(x)=\left(-1+2 \cos ^{2} x\right) \cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos 2 x(-\sin 2 x)=-\frac{1}{2} \sin 4 x$．Frive $f\left(\frac{\alpha}{4}\right)=-\frac{2}{5}$，得 $-\frac{1}{2} \sin \alpha=-\frac{2}{5}, \sin \alpha=\frac{4}{5}$, 又 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, 所以 $\cos \alpha=-\frac{3}{5}$，因，以
$\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi}{3}+\sin \frac{\pi}{3} \cos \alpha=\frac{4-3 \sqrt{3}}{10}$.
考点：函数奇偶性，同角三角函数关系，二倍角公式