（12 分） 如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PA…——2016 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（ I ）取棱 $A D$ 的中点 $M$ ，证明详见解析；（II）证明详见解析．

## 【解析】

试题分析：（I）探索线面平行，根据是线面平行的判定定理，先证明线线平行，再得线面平行，只要在平面 $A B C D$ 上作 $C M / / A B$ 交 $A D$ 于 $M$ 即得；（II）要证面面垂直，先证线面垂直，也就要证线线垂直，本题中有 $P A \perp B D$（由线面垂直的性质或定义得），另外可以由平面几何知识证明 $B D \perp A B$ ，从而有线面垂直，再有面面垂直．

试题解析：

（I）取棱 $A D$ 的中点 $M(M \in$ 平面 $P A D)$ ，点 $M$ 即为所求的一个点．理由如下：
因为 $A D \| B C, B C=\frac{1}{2} A D$ ，所以 $B C \| A M$ ，且 $B C=A M$ ．
所以四边形 $A M C B$ 是平行四边形，从而 $C M \| A B$ ．
又 $A B \subset$ 平面 $P A B, C M \not \subset$ 平面 $P A B$ ，
所以 $C M / /$ 平面 $P A B$ ．
（说明：取棱 $P D$ 的中点 $N$ ，则所找的点可以是直线 $M N$ 上任意一点）
（II）由已知，$P A \perp A B, P A \perp C D$ ，
因为 $A D / / B C, B C=\frac{1}{2} A D$ ，所以直线 $A B$ 与 $C D$ 相交，
所以 $P A \perp$ 平面 $A B C D$ ．
从而 $P A \perp B D$ ．
因为 $A D / / B C, B C=\frac{1}{2} A D$ ，
所以 $B C / / M D$ ，且 $B C=\mathrm{MD}$ ．
所以四边形 $B C D M$ 是平行四边形．

所以 $B M=C D=\frac{1}{2} A D$ ，所以 $B D \perp A B$ ．
又 $A B \cap A P=A$ ，所以 $B D \perp$ 平面 $P A B$ ．
又 $B D \subset$ 平面 $P B D$ ，
所以平面 $P A B \perp$ 平面 $P B D$ ．
考点：线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直．
【名师点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力。证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），证明面面垂直时，要证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而可能有哪个线面垂直，确定要证哪个线线垂直，切忌不加思考，随便写。