（本小题满分 13 分） 已知动圆过定点 A (4,0)，…——2013 高考数学第 20 题答案解析

【答案】：（I）设动圆圆心 C 的坐标为 $(x, y)$ 则 $(4-x)^{2}+(0-y)^{2}=4^{2}+x^{2}$，整理得 $y^{2}=8 x$。所以，所求动圆圆心的轨迹 C 的方程为 $y^{2}=8 x(x \neq 0)$
（II）证明：
设直线 $l$ 方程为 $y=k x+b$，联立 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}^{2}=8 \mathrm{x} \\ \mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}\end{array}\right.$ 得 $k^{2} x^{2}+2 k b x+b^{2}=8 x \Rightarrow k^{2} x^{2}-(8-2 k b) x+b^{2}=0$ （其中 $\Delta=-32 k b+64>0$ ）

设 $P\left(x_{1}, k x_{1}+b\right), Q\left(x_{2}, k x_{2}+b\right)$，若 x 轴是 $\angle P B Q$ 的角平分线，则
$k_{Q B}+k_{P B}=\frac{k x_{1}+b}{x_{1}+1}+\frac{k x_{2}+b}{x_{2}+1}=\frac{\left(k x_{1}+b\right) \cdot\left(x_{2}+1\right)+\left(x_{2}+b\right) \cdot\left(x_{1}+1\right)}{\left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)}=\frac{k x_{1} x_{2}+(k+b)\left(x_{1}+x_{2}\right)+2 b}{\left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)}$
$=\frac{8(k+b)}{k^{2}\left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)}=0$，即 $k=-b$ 故佘线 1 方程为 $y=k(x-1)$，直线 $l$ 过定点。 $(1,0)$
【解析】：本题考查轨迹方程求法、直线方程、圆方程、直线与圆的位置关系及直线过定点问题第一问曲线轨迹方程的求解问题是高考的热点题型之一，准确去除不满足条件的 $x \neq 0$ 点是关键．第二问对角平分线的性质运用是关键，对求定值问题的解决要控制好运算量，同时注意好判别式 $\Delta=-32 k b+64>0$ 的条件，以防多出结果．圆锥曲线问题经常与向量、三角函数结合，在训练中要注意．本题无论是求圆心的轨迹方程，还是求证直线过定点，计算量都不太大，对思维的要求挺高；设计问题背景，彰显应用魅力．

【考点定位】本题考查迹曲线方程求法、直线方程、圆方程、直线与圆的位置关系及直线过定点问题，属于中档题．