（12分）如图，在四棱锥 P-A B C D 中， A B…——2017 高考数学第 18 题答案解析

【考点】 LY ：平面与平面垂直； MJ ：二面角的平面角及求法．
【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】①由已知可得 $P A \perp A B, P D \perp C D$, 再由 $A B \| C D$ ，得 $A B \perp P D$ ，利用线面垂直的判定可得 $A B \perp$ 平面 $P A D$ ，进一步得到平面 $P A B \perp$ 平面 $P A D$ ；
②由已知可得四边形 ABCD 为平行四边形，由①知 $\mathrm{AB} \perp$ 平面 PAD ，得到 $\mathrm{AB} \perp A D$ ，则四边形 $A B C D$ 为矩形，设 $P A=A B=2 a$ ，则 $A D=2 \sqrt{2} a$ ．取 $A D$ 中点 $O, B C$ 中点 E ，连接 $\mathrm{PO} , \mathrm{OE}$ ，以 O 为坐标原点，分别以 $\mathrm{OA} , \mathrm{OE} , \mathrm{OP}$ 所在直线为 $\mathrm{x} , \mathrm{y}$ 、 z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 PBC 的一个法向量，再证明 $\mathrm{PD} \perp$ 平面 PAB ，得 $\overrightarrow{\mathrm{PD}}$ 为平面 PAB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 A －PB－C的余弦值。

【解答】（1）证明：$\because \angle B A P=\angle C D P=90^{\circ}, \therefore P A \perp A B, P D \perp C D$ ，
$\because A B \| C D, \quad \therefore A B \perp P D$,

又 $\because \mathrm{PA} \cap \mathrm{PD}=\mathrm{P}$ ，且 $\mathrm{PA} \subset$ 平面 $\mathrm{PAD}, \mathrm{PDC}$ 平面 PAD ，
$\therefore \mathrm{AB} \perp$ 平面 PAD ，又 ABC 平面 PAB ，
∴ 平面 $\mathrm{PAB} \perp$ 平面 PAD ；
（2）解：$\because A B \| C D, A B=C D, \therefore$ 四边形 $A B C D$ 为平行四边形，
由①知 $A B \perp$ 平面 $P A D, ~ \therefore A B \perp A D$ ，则四边形 $A B C D$ 为矩形，
在 $\triangle A P D$ 中，由 $P A=P D, \angle A P D=90^{\circ}$ ，可得 $\triangle P A D$ 为等腰直角三角形，
设 $P A=A B=2 a$ ，则 $A D=2 \sqrt{2} a$ ．
取 $A D$ 中点 $O$ ，$B C$ 中点 $E$ ，连接 $P O , O E$ ，
以 $O$ 为坐标原点，分别以 $O A , O E , O P$ 所在直线为 $x , y , z$ 轴建立空间直角坐标系

则：$D(-\sqrt{2} a, 0,0), B(\sqrt{2} a, 2 a, 0), P(0,0, \sqrt{2} a), C($

$$ -\sqrt{2} \mathrm{a}, 2 \mathrm{a}, 0) $$

$\overrightarrow{\mathrm{PD}}=(-\sqrt{2} \mathrm{a}, 0,-\sqrt{2} \mathrm{a}), \overrightarrow{\mathrm{PB}}=(\sqrt{2} \mathrm{a}, 2 \mathrm{a},-\sqrt{2} \mathrm{a}), \overrightarrow{\mathrm{BC}}=(-2 \sqrt{2} \mathrm{a}, 0,0)$.
设平面 PBC 的一个法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{P B}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B C}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2} a x+2 a y-\sqrt{2} a z=0 \\ -2 \sqrt{2} a x=0\end{array}\right.$ ，取 $y=1$ ，得 $\vec{n}=(0,1, \sqrt{2})$ ．
$\because \mathrm{AB} \perp$ 平面 $\mathrm{PAD}, \mathrm{ADC}$ 平面 $\mathrm{PAD}, \therefore \mathrm{AB} \perp \mathrm{PD}$ ，
又 $P D \perp P A, P A \cap A B=A$ ，
$\therefore \mathrm{PD} \perp$ 平面 PAB ，则 $\overrightarrow{\mathrm{PD}}$ 为平面 PAB 的一个法向量， $\overrightarrow{\mathrm{PD}}=(-\sqrt{2} \mathrm{a}, 0,-\sqrt{2} \mathrm{a})$ ．
$\therefore \cos <\overrightarrow{\mathrm{PD}}, \overrightarrow{\mathrm{n}}>=\frac{\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PD}}||\overrightarrow{\mathrm{n}}|}=\frac{-2 \mathrm{a}}{2 \mathrm{a} \times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
由图可知，二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{PB}-\mathrm{C}$ 为钝角，
∴ 二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{PB}-\mathrm{C}$ 的余弦值为 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．