（4分）（2016•浙江）如图，在 ABC 中， AB =…——2016 高考数学第 14 题答案解析

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意，$\triangle \mathrm{ABD} \cong \triangle \mathrm{PBD}$ ，可以理解为 $\triangle \mathrm{PBD}$ 是由 $\triangle \mathrm{ABD}$ 绕着 BD 旋转得到的，对于每段固定的 AD ，底面积 BCD 为定值，要使得体积最大，$\triangle \mathrm{PBD}$ 必定垂直于平面 ABC ，此时高最大，体积也最大。
【解答】解：如图， M 是 AC 的中点．
（1）当 $\mathrm{AD}=\mathrm{t}<\mathrm{AM}=\sqrt{3}$ 时，如图，此时高为 P 到 BD 的距离，也就是 A 到 BD 的距离，即图

$\mathrm{DM}=\sqrt{3}-\mathrm{t}$ ，由 $\triangle \mathrm{ADE} \sim \triangle \mathrm{BDM}$ ，可得 $\frac{\mathrm{h}}{1}=\frac{\mathrm{t}}{\sqrt{(\sqrt{3}-\mathrm{t})^{2}+1}}, \quad \therefore \mathrm{~h}=\frac{\mathrm{t}}{\sqrt{(\sqrt{3}-\mathrm{t})^{2}+1}}$ ，
$\mathrm{V}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot(2 \sqrt{3}-\mathrm{t}) \cdot 1 \cdot \frac{\mathrm{t}}{\sqrt{(\sqrt{3}-\mathrm{t})^{2}+1}}=\frac{1}{6} \cdot \frac{3-(\sqrt{3}-\mathrm{t})^{2}}{\sqrt{(\sqrt{3}-\mathrm{t})^{2}+1}}, \mathrm{t} \in(0, \sqrt{3})$
（2）当 $\mathrm{AD}=\mathrm{t}>\mathrm{AM}=\sqrt{3}$ 时，如图，此时高为 P 到 BD 的距离，也就是 A 到 BD 的距离，即图

中 AH ，

$\mathrm{DM}=\mathrm{t}-\sqrt{3}$ ，由等面积，可得 $\frac{1}{2} \cdot \mathrm{AD} \cdot \mathrm{BM}=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{BD} \cdot \mathrm{AH}, \therefore \frac{1}{2} \cdot \mathrm{t} \cdot 1=\frac{1}{2} \sqrt{(\mathrm{t}-\sqrt{3})^{2}+1}$ ，
$\therefore \mathrm{h}=\frac{\mathrm{t}}{\sqrt{(\sqrt{3}-\mathrm{t})^{2}+1}}$,
$\therefore V=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot(2 \sqrt{3}-t) \cdot 1 \cdot \frac{t}{\sqrt{(\sqrt{3}}-t)^{2}+1}=\frac{1}{6} \cdot \frac{3-(\sqrt{3}-t)^{2}}{\sqrt{(\sqrt{3}-t)^{2}+1}}, t \in(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$
综上所述，$V=\frac{1}{6} \cdot \frac{3-(\sqrt{3}-t)^{2}}{\sqrt{(\sqrt{3}-t)^{2}+1}}, t \in(0,2 \sqrt{3})$
令 $m=\sqrt{(\sqrt{3}-t)^{2}+1} \in[1,2)$ ，则 $V=\frac{1}{6} \cdot \frac{4-m^{2}}{m}, \quad \therefore m=1$ 时，$V_{\text {max }}=\frac{1}{2}$ ．
故答案为：$\frac{1}{2}$ ．
【点评】本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大。