（5分）（2016•天津）如图， AB 是圆的直径，弦 C…——2016 高考数学第 13 题答案解析

【解答】
（5分）（2016•天津）如图， AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 $\mathrm{E}, \mathrm{BE}=2 \mathrm{AE}=2, \mathrm{~B} \mathrm{D}=\mathrm{ED}$ ，则线段 CE 的长为 $\_\_\_\_$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$。

【分析】由 $\mathrm{BD}=\mathrm{ED}$ ，可得 $\triangle \mathrm{BDE}$ 为等腰三角形，过 D 作 $\mathrm{DH} \perp \mathrm{AB}$ 于 H ，由相交弦定理求得 DH ，在Rt $\triangle \mathrm{DHE}$ 中求出 DE ，再由相交弦定理求得 CE ．
【解答】解：如图，
过 D 作 $\mathrm{DH} \perp \mathrm{AB}$ 于 H ，
$\because \mathrm{BE}=2 \mathrm{AE}=2, \quad \mathrm{BD}=\mathrm{ED}$ ，
$\therefore \mathrm{BH}=\mathrm{HE}=1$ ，则 $\mathrm{AH}=2, \mathrm{BH}=1$ ，
$\therefore \mathrm{DH}^{2}=\mathrm{AH} \cdot \mathrm{BH}=2$ ，则 $\mathrm{DH}=\sqrt{2}$ ，
在Rt $\triangle \mathrm{DHE}$ ，则 $\mathrm{DE}=\sqrt{\mathrm{DH}^{2}+\mathrm{HE}^{2}}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$ ，
由相交弦定理可得： $\mathrm{CE} \bullet \mathrm{DE}=\mathrm{AE} \bullet \mathrm{EB}$ ，
$\therefore \mathrm{CE}=\frac{\mathrm{AE} \cdot \mathrm{EB}}{\mathrm{DE}}=\frac{1 \times 2}{\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．
故答案为：$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．