记 A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,…——2024 高考数学第 15 题答案解析

【答案】①$A=\frac{\pi}{6}$
② $2+\sqrt{6}+3 \sqrt{2}$

## 【解析】

【分析】（1）根据辅助角公式对条件 $\sin A+\sqrt{3} \cos A=2$ 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出 $B$ ，然后根据正弦定理算出 $b, c$ 即可得出周长．

## 【小问 1 详解】

**方法一**：常规方法（辅助角公式）

由 $\sin A+\sqrt{3} \cos A=2$ 可得 $\frac{1}{2} \sin A+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos A=1$ ，即 $\sin \left(A+\frac{\pi}{3}\right)=1$ ，
由于 $A \in(0, \pi) \Rightarrow A+\frac{\pi}{3} \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right)$ ，故 $A+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$ ，解得 $A=\frac{\pi}{6}$

**方法二**：常规方法（同角三角函数的基本关系）

由 $\sin A+\sqrt{3} \cos A=2$ ，又 $\sin ^{2} A+\cos ^{2} A=1$ ，消去 $\sin A$ 得到：
$4 \cos ^{2} A-4 \sqrt{3} \cos A+3=0 \Leftrightarrow(2 \cos A-\sqrt{3})^{2}=0$ ，解得 $\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
又 $A \in(0, \pi)$ ，故 $A=\frac{\pi}{6}$

**方法三**：利用极值点求解

设 $f(x)=\sin x+\sqrt{3} \cos x(0显然 $x=\frac{\pi}{6}$ 时，$f(x)_{\text {max }}=2$ ，注意到 $f(A)=\sin A+\sqrt{3} \cos A=2=2 \sin \left(A+\frac{\pi}{3}\right)$ ，
$f(x)_{\text {max }}=f(A)$ ，在开区间 $(0, \pi)$ 上取到最大值，于是 $x=A$ 必定是极值点，
即 $f^{\prime}(A)=0=\cos A-\sqrt{3} \sin A$ ，即 $\tan A=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
又 $A \in(0, \pi)$ ，故 $A=\frac{\pi}{6}$

**方法四**：利用向量数量积公式（柯西不等式）

设 $\vec{a}=(1, \sqrt{3}), \vec{b}=(\sin A, \cos A)$ ，由题意，$\vec{a} \cdot \vec{b}=\sin A+\sqrt{3} \cos A=2$ ，
根据向量的数量积公式，$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=2 \cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$ ，则 $2 \cos \vec{a}, \vec{b}=2 \Leftrightarrow \cos \vec{a}, \vec{b}=1$ ，此时 $\vec{a}, \vec{b}=0$ ，即 $\vec{a}, \vec{b}$ 同向共线，

根据向量共线条件， $1 \cdot \cos A=\sqrt{3} \cdot \sin A \Leftrightarrow \tan A=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
又 $A \in(0, \pi)$ ，故 $A=\frac{\pi}{6}$

**方法五**：利用万能公式求解

设 $t=\tan \frac{A}{2}$ ，根据万能公式， $\sin A+\sqrt{3} \cos A=2=\frac{2 t}{1+t^{2}}+\frac{\sqrt{3}\left(1-t^{2}\right)}{1+t^{2}}$ ，
整理可得，$t^{2}-2(2-\sqrt{3}) t+(2-\sqrt{3})^{2}=0=(t-(2-\sqrt{3}))^{2}$ ，
解得 $\tan \frac{A}{2}=t=2-\sqrt{3}$ ，根据二倍角公式， $\tan A=\frac{2 t}{1-t^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
又 $A \in(0, \pi)$ ，故 $A=\frac{\pi}{6}$
【小问 2 详解】
由题设条件和正弦定理
$\sqrt{2} b \sin C=c \sin 2 B \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin B \sin C=2 \sin C \sin B \cos B$,
又 $B, C \in(0, \pi)$ ，则 $\sin B \sin C \neq 0$ ，进而 $\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，得到 $B=\frac{\pi}{4}$ ，
于是 $C=\pi-A-B=\frac{7 \pi}{12}$ ，
$\sin C=\sin (\pi-A-B)=\sin (A+B)=\sin A \cos B+\sin B \cos A=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$,
由正弦定理可得，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ ，即 $\frac{2}{\sin \frac{\pi}{6}}=\frac{b}{\sin \frac{\pi}{4}}=\frac{c}{\sin \frac{7 \pi}{12}}$ ，
解得 $b=2 \sqrt{2}, c=\sqrt{6}+\sqrt{2}$ ，
故 $\triangle A B C$ 的周长为 $2+\sqrt{6}+3 \sqrt{2}$