2024 新课标 II 卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知 $z=-1-\mathrm{i}$ ，则 $|z|=$

2．已知命题 $p: \forall x \in \mathbf{R},|x+1|>1$ ；命题 $q: \exists x>0, x^{3}=x$ ，则

3．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{a}+2 \vec{b}|=2$ ，且 $(\vec{b}-2 \vec{a}) \perp \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}|=$（）

4．某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表

据表中数据，结论中正确的是（

5．已知曲线 $C: x^{2}+y^{2}=16(y>0)$ ，从 $C$ 上任意一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线段 $P P^{\prime}, P^{\prime}$ 为垂足，则线段 $P P^{\prime}$的中点 $M$ 的轨迹方程为（ ）

6．设函数 $f(x)=a(x+1)^{2}-1, g(x)=\cos x+2 a x$ ，当 $x \in(-1,1)$ 时，曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 恰有一个交点，则 $a=$（ ）

7．已知正三棱台 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{52}{3}, A B=6, A_{1} B_{1}=2$ ，则 $A_{1} A$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为

8．设函数 $f(x)=(x+a) \ln (x+b)$ ，若 $f(x) \geq 0$ ，则 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值为 ()

9．对于函数 $f(x)=\sin 2 x$ 和 $g(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ ，下列正确的有（ ）

10．抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的准线为 $l, P$ 为 $C$ 上的动点，过 $P$ 作 $\odot A: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的一条切线，$Q$ 为切点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ，则（ ）

11．设函数 $f(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+1$ ，则 ()

12．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3}+a_{4}=7,3 a_{2}+a_{5}=5$ ，则 $S_{10}=$

13．已知 $\alpha$ 为第一象限角，$\beta$ 为第三象限角， $\tan \alpha+\tan \beta=4, \tan \alpha \tan \beta=\sqrt{2}+1$ ，则 $\sin (\alpha+\beta)=$

14．在如图的 $4 \times 4$ 方格表中选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 $\_\_\_\_$种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的 4 个数之和的最大值是 $\_\_\_\_$。

15．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin A+\sqrt{3} \cos A=2$ ．
（1）求 $A$ ．
（2）若 $a=2, \sqrt{2} b \sin C=c \sin 2 B$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长．

16．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-a^{3}$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x)$ 有极小值，且极小值小于 0 ，求 $a$ 的取值范围．

17．如图，平面四边形 $A B C D$ 中，$A B=8, C D=3, A D=5 \sqrt{3}, \angle A D C=90^{\circ}, \angle B A D=30^{\circ}$ ，点 $E$ ， $F$ 满足 $\overrightarrow{A E}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A F}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ ，将 $\triangle A E F$ 沿 $E F$ 对折至！$P E F$ ，使得 $P C=4 \sqrt{3}$ ．

（1）证明：$E F \perp P D$ ；
（2）求面 $P C D$ 与面 $P B F$ 所成的二面角的正弦值．

18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次，若 3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为 0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 $p$ ，乙每次投中的概率为 $q$ ，各次投中与否相互独立．
（1）若 $p=0.4, q=0.5$ ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率．
（2）假设 $0（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

19．已知双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=m(m>0)$ ，点 $P_{1}(5,4)$ 在 $C$ 上，$k$ 为常数， $0

记 $P_{n}$ 的坐标为 $\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ．
（1）若 $k=\frac{1}{2}$ ，求 $x_{2}, y_{2}$ ；
（2）证明：数列 $\left\{x_{n}-y_{n}\right\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列；
③设 $S_{n}$ 为 $\Delta P_{n} P_{n+1} P_{n+2}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $n, S_{n}=S_{n+1}$ ．