2017_江苏卷 (2017)
14．（5 分）设 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为 1 的函数，在区间 $[0,1)$ 上，$f(x) =\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x \in D \\ x, & x \notin D\end{array}\right.$ ，其中集合 $D=\left\{x \left\lvert\, x=\frac{n-1}{n}\right., n \in N^{*}\right\}$ ，则方程 $f(x)-\lg x=0$ 的解的个数是 $\_\_\_\_$。
## 二．
【解答】
（5 分）（2017•江苏）设 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为 1 的函数，在区间 $[0$ ， 1）上，$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x \in D \\ x, & x \notin D\end{array}\right.$ ，其中集合 $D=\left\{x \left\lvert\, x=\frac{n-1}{n}\right., n \in N^{*}\right\}$ ，则方程 $f(x)-\lg x=0$的解的个数是 $\_\_\_\_$ 8 ．
【分析】由已知中 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为 1 的函数，在区间 $[0,1)$ 上，$f (x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x \in D \\ x, & x \notin D\end{array}\right.$ ，其中集合 $D=\left\{x \left\lvert\, x=\frac{n-1}{n}\right., n \in N^{*}\right\}$ ，分析 $f(x)$ 的图象与 $y=\lg x$图象交点的个数，进而可得答案．
【解答】解：∵ 在区间 $[0,1)$ 上，$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \in D, \\ x, x \notin D\end{array}\right.$ ，
第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，
又 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为 1 的函数，
∴ 在区间 $[1,2)$ 上，$f(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^{2}, x \in D \\ x-1, x \notin D\end{array}\right.$ ，此时 $f(x)$ 的图象与 $y=\lg x$ 有且
只有一个交点；
同理：
区间［2，3）上，$f(x)$ 的图象与 $y=\lg x$ 有且只有一个交点；
区间［3，4）上，$f(x)$ 的图象与 $y=\lg x$ 有且只有一个交点；
区间［4，5）上，$f(x)$ 的图象与 $y=\lg x$ 有且只有一个交点；
区间［5，6）上，$f(x)$ 的图象与 $y=\lg x$ 有且只有一个交点；
区间［6，7）上，$f(x)$ 的图象与 $y=\lg x$ 有且只有一个交点；
区间［7，8）上，$f(x)$ 的图象与 $y=\lg x$ 有且只有一个交点；
区间［8，9）上，$f(x)$ 的图象与 $y=\lg x$ 有且只有一个交点；
在区间 $[g,+\infty)$ 上，$f(x)$ 的图象与 $y=\lg x$ 无交点；
故 $f(x)$ 的图象与 $y=\lg x$ 有 8 个交点；
即方程 $f(x)-\lg x=0$ 的解的个数是 8 ，
故答案为： 8
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档。
## 二．