已知 O 为坐标原点，点 P_ 1 (cos α, sin…——2021 高考数学第 10 题答案解析

【答案】AC

## 【解析】

【分析】 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 写出 $\overrightarrow{O P_{1}}, \overrightarrow{O P_{2}} , \stackrel{\text { unu }}{A P_{1}}, \stackrel{\text { uNu }}{A P_{2}}$ 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误； $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误．

【详解】A： $\overrightarrow{O P_{1}}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \overrightarrow{O P_{2}}=(\cos \beta,-\sin \beta)$ ，所以 $\left|\overrightarrow{O P_{1}}\right|=\sqrt{\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}=1$ ， $\left|\overrightarrow{O P_{2}}\right|=\sqrt{(\cos \beta)^{2}+(-\sin \beta)^{2}}=1$ ，故 $\left|\overrightarrow{O P_{1}}\right|=\left|\overrightarrow{O P_{2}}\right|$ ，正确；

B： $\overrightarrow{A P_{1}}=(\cos \alpha-1, \sin \alpha), \overrightarrow{A P_{2}}=(\cos \beta-1,-\sin \beta)$ ，所以
$\left|\overrightarrow{A P_{1}}\right|=\sqrt{(\cos \alpha-1)^{2}+\sin ^{2} \alpha}=\sqrt{\cos ^{2} \alpha-2 \cos \alpha+1+\sin ^{2} \alpha}=\sqrt{2(1-\cos \alpha)}=\sqrt{4 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}=2\left|\sin \frac{\alpha}{2}\right|$ ，同理 $\left|\overrightarrow{A P_{2}}\right|=\sqrt{(\cos \beta-1)^{2}+\sin ^{2} \beta}=2\left|\sin \frac{\beta}{2}\right|$ ，故 $\left|\overrightarrow{A P_{1}}\right|,\left|\overrightarrow{A P_{2}}\right|$ 不一定相等，错误；

C：由题意得： $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O P_{3}}=1 \times \cos (\alpha+\beta)+0 \times \sin (\alpha+\beta)=\cos (\alpha+\beta)$ ， $\overrightarrow{O P_{1}} \cdot \overrightarrow{O P_{2}}=\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot(-\sin \beta)=\cos (\alpha+\beta)$ ，正确；

D：由题意得： $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O P_{1}}=1 \times \cos \alpha+0 \times \sin \alpha=\cos \alpha$ ，
$\overrightarrow{O P_{2}} \cdot \overrightarrow{O P_{3}}=\cos \beta \times \cos (\alpha+\beta)+(-\sin \beta) \times \sin (\alpha+\beta)$
$=\cos \alpha \cos ^{2} \beta-\sin \alpha \sin \beta \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \cos \beta-\cos \alpha \sin ^{2} \beta$
$=\cos \alpha \cos 2 \beta-\sin \alpha \sin 2 \beta=\cos (\alpha+2 \beta)$ ，错误；
故选：AC