2016_江苏卷 (2016)
16．（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中， $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ 分别为 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ 的中点，点 F 在侧棱 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{~B}$ 上，且 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{D} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F}, \mathrm{~A}_{1} \mathrm{C}_{1} \perp \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ．求证：
（1）直线 $\mathrm{DE} \|$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F}$ ；
（2）平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{DE} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F}$ ．
【解答】
（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中， $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ 分别为 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ 的中点，点 F 在侧棱 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{~B}$ 上，且 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{D} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F}, \mathrm{~A}_{1} \mathrm{C}_{1} \perp \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ．求证：
（1）直线 $\mathrm{DE} \|$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F}$ ；
（2）平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{DE} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F}$ ．
【分析】（1）通过证明 $\mathrm{DE} \| \mathrm{AC}$ ，进而 $\mathrm{DE} \| \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}$ ，据此可得直线 $\mathrm{DE} \|$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F}_{1}$ ；
（2）通过证明 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \perp \mathrm{DE}$ 结合题目已知条件 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \perp \mathrm{~B}_{1} \mathrm{D}$ ，进而可得平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{DE} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F}$ ．
【解答】解：（1）$\because \mathrm{D}, \mathrm{E}$ 分别为 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ 的中点，
$\therefore \mathrm{DE}$ 为 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的中位线，
$\therefore \mathrm{DE} \| \mathrm{AC}$ ，
$\because \mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 为棱柱，
$\therefore \mathrm{AC} \| \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{DE} \| \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}$ ，
$\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \subset$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F}$ ，且 $\mathrm{DE} \not \subset$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F}$ ，
$\therefore \mathrm{DE} \| \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F}$ ；
（2）$\because \mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 为直棱柱，
$\therefore \mathrm{AA}_{1} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{AA}_{1} \perp \mathrm{~A}_{1} \mathrm{C}_{1}$ ，
又 $\because A_{1} C_{1} \perp A_{1} B_{1}$ ，且 $A A_{1} \cap A_{1} B_{1}=A_{1}, A A_{1} , A_{1} B_{1} \subset$ 平面 $A_{1} B_{1} B$ ，
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \perp$ 平面 $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{~B}$ ，
$\because \mathrm{DE} \| \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{DE} \perp$ 平面 $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{~B}$ ，
又 $\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \subset$ 平面 $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{~B}$ ，
$\therefore \mathrm{DE} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F}$ ，
又 $\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \perp \mathrm{~B}_{1} \mathrm{D}, ~ \mathrm{DE} \cap \mathrm{B}_{1} \mathrm{D}=\mathrm{D}$ ，且 $\mathrm{DE} , \mathrm{~B}_{1} \mathrm{D} \subset$ 平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{DE}$ ，
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \perp$ 平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{DE}$ ，
又 $\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{FC} \subset$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F}$ ，
∴ 平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{DE} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F}$ ．
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大。