2016 江苏卷 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）（2016•江苏）已知集合 $\mathrm{A}=\{-1,2,3,6\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{x} \mid-2<\mathrm{x}<3\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$ $\_\_\_\_$ $\_\_\_\_$。

2．（5分）$(2016 \cdot$ 江苏 $)$ 复数 $z=(1+2 i)(3-i)$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的实部是 $\_\_\_\_$ ＿．

3．（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{7}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{3}=1$ 的焦距是 $\_\_\_\_$ ．

4．（ 5 分）（ $2016 \cdot$ 江苏）已知一组数据 $4.7,4.8,5.1,5.4,5.5$ ，则该组数据的方差是 $\_\_\_\_$ $\_\_\_\_$ ．

5．（5分）（2016•江苏）函数 $y=\sqrt{3-2 x-x^{2}}$ 的定义域是 $\_\_\_\_$ ．

6．（5分）（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 $\_\_\_\_$。 

7．（5分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 $1,2,3,4,5$ ， 6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 $\_\_\_\_$ ．

8．（5分）（2016•江苏）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$S_{n}$ 是其前 $n$ 项和，若 $a_{1}+a_{2}{ }^{2}=-3, S_{5}=10$ ，则 $\mathrm{a}_{9}$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

9．（5分）（2016 •江苏）定义在区间 $[0,3 \pi]$ 上的函数 $\mathrm{y}=\sin 2 \mathrm{x}$ 的图象与 $\mathrm{y}=\cos \mathrm{x}$ 的图象的交点个数是 $\_\_\_\_$ ．

10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0$ ）的右焦点，直线 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{b}}{2}$ 与椭圆交于 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 两点，且 $\angle \mathrm{BFC}=90^{\circ}$ ，则该椭圆的离心率是 $\_\_\_\_$ ． 

11．（5分）（2016•江苏）设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 $[-1,1)$ 上， $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+a,-1 \leqslant x<0 \\ \left|\frac{2}{5}-x\right|, 0 \leqslant x<1\end{array}\right.$ ，其中 $a \in R$, 若 $f\left(-\frac{5}{2}\right)=f\left(\frac{9}{2}\right)$ ，则 $f(5 a)$ 的值是

12．（5分）（2016•江苏）已知实数 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+4 \geqslant 0 \\ 2 x+y-2 \geqslant 0 \\ 3 x-y-3 \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $x^{2}+y^{2}$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）（2016•江苏）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， D 是 BC 的中点， $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是 AD 上的两个三等分点， $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=4, \overrightarrow{\mathrm{BF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}=-1$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}$ 的值是 $\_\_\_\_$。 

14．（5分）（2016•江苏）在锐角三角形 ABC 中，若 $\sin \mathrm{A}=2 \sin \mathrm{~B} \sin \mathrm{C}$ ，则 $\tan \mathrm{A} \tan \mathrm{B} \tan \mathrm{C}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ ．

15．（14分）（2016•江苏）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AC}=6, \cos \mathrm{~B}=\frac{4}{5}, \mathrm{C}=\frac{\pi}{4}$ ． （1）求 AB 的长； （2）求 $\cos$（ $\mathrm{A}-\frac{\pi}{6}$ ）的值。

16．（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中， $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ 分别为 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ 的中点，点 F 在侧棱 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{~B}$ 上，且 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{D} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F}, \mathrm{~A}_{1} \mathrm{C}_{1} \perp \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ．求证： （1）直线 $\mathrm{DE} \|$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F}$ ； （2）平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{DE} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F}$ ． 

17．（14分）（ $2016 \cdot$ 江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ ，下部的形状是正四棱柱 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$（如图所示），并要求正四棱柱的高 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}$ 是正四棱锥的高 $\mathrm{PO}_{1}$ 的4倍。 （1）若 $\mathrm{AB}=6 \mathrm{~m}, ~ \mathrm{PO}_{1}=2 \mathrm{~m}$ ，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为 6 m ，则当 $\mathrm{PO}_{1}$ 为多少时，仓库的容积最大？ 

18．（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 $\mathrm{M}: \mathrm{x}^{2}+ y^{2}-12 x-14 y+60=0$ 及其上一点A（2，4）。 （1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 $\mathrm{x}=6$ 上，求圆 N 的标准方程； ②设平行于 OA 的直线 $l$ 与圆 M 相交于 $\mathrm{B} , \mathrm{C}$ 两点，且 $\mathrm{BC}=\mathrm{OA}$ ，求直线 $l$ 的方程； ③设点 $\mathrm{T}(\mathrm{t}, 0)$ 满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q ，使得 $\overrightarrow{\mathrm{TA}}+\overrightarrow{\mathrm{TP}}=\overrightarrow{\mathrm{TQ}}$ ，求实数 t 的取值范围 

19．（16分）（2016•江苏）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}+\mathrm{b}^{\mathrm{x}}(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0, \mathrm{a} \neq 1, \mathrm{~b} \neq 1)$ ． ①设 $\mathrm{a}=2, \mathrm{~b}=\frac{1}{2}$ ． （1）求方程 $f(x)=2$ 的根； （2）若对于任意 $x \in R$ ，不等式 $f(2 x) \geq m f(x)-6$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值； （2）若 $0<\mathrm{a}<1, \mathrm{~b}>1$ ，函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})-2$ 有且只有 1 个零点，求 ab 的值．

20．（16分）（2016•江苏）记 $U=\{1,2, \ldots, 100\}$ ，对数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in N^{*}\right)$ 和 $U$ 的子集 $T$ ，若 $\mathrm{T}=\varnothing$ ，定义 $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}=0$ ；若 $\mathrm{T}=\left\{\mathrm{t}_{1}, \mathrm{t}_{2}, \ldots, \mathrm{t}_{\mathrm{k}}\right\}$ ，定义 $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}=\mathrm{a}_{\mathrm{t}_{1}}{ }^{+} \mathrm{a}_{\mathrm{t}_{2}}+\ldots+{ }^{+} \mathrm{a}_{\mathrm{t}_{\mathrm{k}}}$ 。例如： $\mathrm{T}=\{1,3,66\}$时，$S_{T}=a_{1}+a_{3}+a_{66}$ ．现设 $\left\{a_{n}\right\} \quad\left(n \in N^{*}\right)$ 是公比为 3 的等比数列，且当 $T=\{2,4\}$ 时，$S_{T}=30$ ． （1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）对任意正整数 $\mathrm{k}(1 \leq \mathrm{k} \leq 100)$ ，若 $\mathrm{T} \subseteq\{1,2, \ldots, \mathrm{k}\}$ ，求证： $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}<\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}$ ； ③设 $\mathrm{C} \subseteq \mathrm{U}, \mathrm{D} \subseteq \mathrm{U}, \mathrm{S}_{\mathrm{C}} \geq \mathrm{S}_{\mathrm{D}}$ ，求证： $\mathrm{S}_{\mathrm{C}}+\mathrm{S}_{\mathrm{C} \cap \mathrm{D}} \geq 2 \mathrm{~S}_{\mathrm{D}}$ ． 附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4－1几何证明选讲】

21．（10分）（2016•江苏）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}, ~ \mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}, ~ \mathrm{D}$ 为垂足， E 为 BC的中点，求证：$\angle \mathrm{EDC}=\angle \mathrm{ABD}$ ．  ## B．【选修4－2：矩阵与变换】

22．（10分）（2016•江苏）已知矩阵 $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & -2\end{array}\right]$ ，矩阵 B 的逆矩阵 $\mathrm{B}^{-1}=\left[\begin{array}{ll}1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 2\end{array}\right]$ ，求矩阵AB。 ## C．【选修4－4：坐标系与参数方程】

23．（2016•江苏）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2} t \\ y=\frac{\sqrt{3}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），椭圆 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，求线段 AB 的长．

24．（2016•江苏）设 $\mathrm{a}>0,|\mathrm{x}-1|<\frac{\mathrm{a}}{3},|\mathrm{y}-2|<\frac{\mathrm{a}}{3}$ ，求证：$|2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-4|<\mathrm{a}$ ． ## 附加题【必做题】

25．（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 $1: \mathrm{x}-\mathrm{y}-2=0$ ，抛物线C： $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px} \quad(\mathrm{p}>0)$ 。 （1）若直线 $l$ 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； （2）已知抛物线 C 上存在关于直线 I 对称的相异两点 P 和 Q ． （1）求证：线段 PQ 的中点坐标为 $(2-\mathrm{p}, ~-\mathrm{p})$ ； （2）求 $p$ 的取值范围． 

26．（10分）（2016•江苏）（1）求7C $\frac{3}{6}-4 \mathrm{C}{ }_{7}^{4}$ 的值； （2）设 $m, n \in N^{*}, n \geq m$ ，求证：$(m+1) C_{m}^{m}(m+2) C_{m+1}^{m}+(m+3) C \underset{m+2}{m}+\ldots+n C { }_{n-1}^{m}+(n+1) C \underset{n}{m=}(m+1) C \begin{aligned} & m+2 \\ & n+2\end{aligned}$. ## 2016年江苏省高考数学试卷