（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满…——2016 高考数学第 22 题答案解析

【答案】（1）$x \in\left(-\infty,-\frac{1}{4}\right) \cup(0,+\infty)$；
（2）$(1,2] \cup\{3,4\}$；
（3）$\left[\frac{2}{3},+\infty\right)$．

## 【解析】

试题分析：（1）由 $\log _{2}\left(\frac{1}{x}+5\right)>0$，得 $\frac{1}{x}+5>1$，从而得解．
（2）将其转化为 $(a-4) x^{2}+(a-5) x-1=0$，讨论当 $a=4, a=3$ 时，以及 $a \neq 3$ 且 $a \neq 4$ 时的情况即可．
（3）讨论 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的单调性，再确定函数 $f(x)$ 在区间 $[t, t+1]$ 上的最大值与最小值之差，从而得到 $a t^{2}+(a+1) t-1 \geq 0$，对任意 $t \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 成立．

试题解析：（1）由 $\log _{2}\left(\frac{1}{x}+5\right)>0$，得 $\frac{1}{x}+5>1$，
解得 $x \in\left(-\infty,-\frac{1}{4}\right) \cup(0,+\infty)$．
②$\frac{1}{x}+a=(a-4) x+2 a-5,(a-4) x^{2}+(a-5) x-1=0$，
当 $a=4$ 时，$x=-1$，经检验，满足题意．
当 $a=3$ 时，$x_{1}=x_{2}=-1$，经检验，满足题意。
当 $a \neq 3$ 且 $a \neq 4$ 时，$x_{1}=\frac{1}{a-4}, x_{2}=-1, x_{1} \neq x_{2}$．
$x_{1}$ 是原方程的解当且仅当 $\frac{1}{x_{1}}+a>0$，即 $a>2$；
$x_{2}$ 是原方程的解当且仅当 $\frac{1}{x_{2}}+a>0$，即 $a>1$．
于是满足题意的 $a \in(1,2]$．
综上，$a$ 的取值范围为 $(1,2] \cup\{3,4\}$．

（3）当 $0\frac{1}{x_{2}}+a, \log _{2}\left(\frac{1}{x_{1}}+a\right)>\log _{2}\left(\frac{1}{x_{2}}+a\right)$，
所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调謎减．
函数 $f(x)$ 在区间 $[t, t+1]$ 上的最大值与最小值分别为 $f(t), f(t+1)$．
$f(t)-f(t+1)=\log _{2}\left(\frac{1}{t}+a\right)-\log _{2}\left(\frac{1}{t+1}+a\right) \leq 1$ 即 $a t^{2}+(a+1) t-1 \geq 0$，对任意 $t \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 成立．

因为 $a>0$，所以函数 $y=a t^{2}+(a+1) t-1$ 在区间 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上单调递增，$t=\frac{1}{2}$ 时，$y$
有最小值 $\frac{3}{4} a-\frac{1}{2}$，由 $\frac{3}{4} a-\frac{1}{2} \geq 0$，得 $a \geq \frac{2}{3}$．
故 $a$ 的取值范围为 $\left[\frac{2}{3},+\infty\right)$．
考点：1．对数函数的性质；2．函数与方程；3．二次函数的性质．