2016 上海卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．设 $\mathrm{x} \in R$ ，则不等式 $|x-3|<1$ 的解集为 $\_\_\_\_$。

2．设 $\mathrm{z}=\frac{3+2 \mathrm{i}}{\mathrm{i}}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $\operatorname{Im} z=$ $\_\_\_\_$。

3．已知平行直线 $l_{1}: 2 x+y-1=0, l_{2}: 2 x+y+1=0$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离是 $\_\_\_\_$。

4．某次体检， 6 位同学的身高（单位：米）分别为 $1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77$，则这组数据的中位数是 $\_\_\_\_$ （米）。

5．已知点 $(3,9)$ 在函数 $f(x)=1+a^{x}$ 的图像上，则 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=$ $\_\_\_\_$。

6．如图，在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 的边长为 $3, B D_{1}$ 与底面所成的角的大小为 $\arctan \frac{2}{3}$ ，则该正四棱柱的高等于 $\_\_\_\_$ ． 

7．方程 $3 \sin x=1+\cos 2 x$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上的解为 $\_\_\_\_$ ．

8．在 $\left(\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x}\right)^{n}$ 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256 ，则常数项等于 $\_\_\_\_$ $\_\_\_\_$ －

9．已知 $\triangle A B C$ 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 $\_\_\_\_$。

10．设 $a>0, b>0$ ．若关于 $x, y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+y=1 \\ x+b y=1\end{array}\right.$ ，无解，则 $a+b$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $\_\_\_\_$ ．

11．无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 由 $k$ 个不同的数组成，$S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若对任意 $n \in \mathrm{~N}^{*}, S_{n} \in\{2,3\}$，则 $k$ 的最大值为

12．在平面直角坐标系中，已知 $A(1,0), B(0,-$ 1），$P$ 是曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ 上一个动点，则 $\overrightarrow{B P} \cdot \overrightarrow{B A}$ 的取值范围是

13．设 $a, b \in R, c \in[0,2 \pi)$ ．若对任意实数 $x$ 都有 $2 \sin \left(3 x-\frac{\pi}{3}\right)=a \sin (b x+c)$ ，则满足条件的有序实数组 $(a, b, c)$ 的组数为

14．如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$O$ 为正八边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{8}$ 的中心，$A_{1}(1,0)$ ．任取不同的两点 $A_{i}, A_{j}$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O A_{i}}+\overrightarrow{O A_{j}}=\overrightarrow{0}$ ，则点 $P$ 落在第一象限的概率是 $\_\_\_\_$ 

15．设 $a \in R$ ，则＂$a>1$＂是＂$a^{2}>1$＂的（ ）。

16．下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（）． 

17．已知无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=S$ ．下列条件中，使得 $2 S_{n}<S\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ 恒成立的是（ ）。

18．设 $f(x) , g(x) , h(x)$ 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：①若 $f(x)+g(x)$ 、 $f(x)+h(x) , g(x)+h(x)$ 均是增函数，则 $f(x) , g(x) , h(x)$ 中至少有一个增函数；②若 $f(x)+g(x) , f(x)+h(x) , g(x)+h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，则 $f(x) , g(x)$ 、 $h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）。

19．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 6 分． 将边长为 1 的正方形 $A A_{1} O_{1} O$（及其内部）绕的 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，如图，$\overparen{A C}$ 长为 $\frac{2}{3} \pi, \widehat{A_{1} B_{1}}$ 长为 $\frac{\pi}{3}$ ，其中 $B_{1}$ 与 $C$ 在平面 $A A_{1} O_{1} O$ 的同侧． （1）求三棱锥 $C-O_{1} A_{1} B_{1}$ 的体积； （2）求异面直线 $B_{1} C$ 与 $A A_{1}$ 所成的角的大小． 

20．（本题满分14）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分． 有一块正方形菜地 $E F G H, E H$ 所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到 $F$ 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，其中 $S_{1}$ 中的蔬菜运到河边较近，$S_{2}$ 中的蔬菜运到 $F$ 点较近，而菜地内 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的分界线 $C$ 上的点到河边与到 $F$ 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 $O$ 为 $E F$ 的中点，点 $F$ 的坐标为 $(1,0)$ ，如图．  （1）求菜地内的分界线 $C$ 的方程； （2）菜农从蔬菜运量估计出 $S_{1}$ 面积是 $S_{2}$ 面积的两倍，由此得到 $S_{1}$ 面积的＂经验值＂为 $\frac{8}{3}$ ．设 $M$ 是 $C$ 上纵坐标为 1 的点，请计算以 $E H$ 为一边、另有一边过点 $M$ 的矩形的面积，及五边形 $E O M G H$ 的面积，并判断哪一个更接近于 $S_{1}$ 面积的经验值．

21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分． 双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于 $A, B$ 两点． （1）若 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{2}, \Delta F_{1} A B$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； ②设 $b=\sqrt{3}$，若 $l$ 的斜率存在，且 $\left(\overrightarrow{F_{1} A}+\overrightarrow{F_{1} B}\right) \cdot \overrightarrow{A B}=0$，求 $l$ 的斜率．

22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6分。 已知 $a \in R$，函数 $f(x)=\log _{2}\left(\frac{1}{x}+a\right)$． （1）当 $a=5$ 时，解不等式 $f(x)>0$； （2）若关于 $x$ 的方程 $f(x)-\log _{2}[(a-4) x+2 a-5]=0$ 的解集中恰好有一个元素，求 $a$的取值范围； ③设 $a>0$，若对任意 $t \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]$，函数 $f(x)$ 在区间 $[t, t+1]$ 上的最大值与最小值的差不 超过 1，求 $a$ 的取值范围．

23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分。 若无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：只要 $a_{p}=a_{q}\left(p, q \in \mathrm{~N}^{*}\right)$，必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 具有性质 P。 （1）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 具有性质 P，且 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{4}=3, a_{5}=2, a_{6}+a_{7}+a_{8}=21$，求 $a_{3}$； （2）若无穷数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，无穷数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 是公比为正数的等比数列，$b_{1}=c_{5}=1$， $b_{5}=c_{1}=81, a_{n}=b_{n}+c_{n}$，判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否具有性质 P，并说明理由； ③设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_{n}+\sin a_{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$。求证：＂对任意 $a_{1},\left\{a_{n}\right\}$ 都具有性质 P ＂的充要条件为＂$\left\{b_{n}\right\}$ 是常数列＂．