（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)= e ^ x…——2013 高考数学第 21 题答案解析

【答案】：函数 $f(x)=e^{x}, x \in R \Rightarrow f^{\prime}(x)=e^{x}$
（I）．函数
$\frac{1}{x_{0}}=k \Rightarrow k x_{0}=1 f(x)=e^{x}, x \in R$ 的反函数为 $y=\ln x, x>0, y^{\prime}=\frac{1}{x}$，
设切点坐标为 $\left(x_{0}, k x_{0}+1\right)$ 则 $\frac{1}{x_{0}}=k \Rightarrow k c_{0}=1$，

$\ln x_{0}=2 \Rightarrow x_{0}=e^{2} \Rightarrow k=\frac{1}{e^{2}}$．
（II）令 $f(x)=m x^{2}$ 即 $e^{x}=m x^{2}(x>0) \Rightarrow m=\frac{e^{x}}{x^{2}}(x>0)$，设 $g(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}}(x>0)$
有 $g^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(x-2)}{x^{3}}(x>0)$，函数 $g(x)$ 在 $(0,2]$ 上单调递㛾，在 $[2,+\infty)$ 上单调递增。
$g(x)_{\min }=g(2)=\frac{e^{2}}{4}$，所以①$m>\frac{e^{2}}{4}$ 时，两曲线有 2 个交点；
②$m=\frac{e^{2}}{4}$ 时，两曲线有 1 个交点；③$m<\frac{e^{2}}{4}$ 时，两曲线没有交点。

（III）

$$ \begin{aligned} & \frac{f(a)+f(b)}{2}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{e^{a}+e^{b}}{2}-\frac{e^{a}-e^{b}}{b-a}=e^{a}\left(\frac{1+e^{b-a}}{2}-\frac{1-e^{b-a}}{b-a}\right) \\ & =e^{a} \frac{(b-a)\left(1+e^{b-a}\right)-2\left(1-e^{b-a}\right)}{2(b-a)} \\ & \because a0 \\ & \therefore \text { 上式 }=e^{a} \frac{t\left(1+e^{t}\right)-2\left(1-e^{t}\right)}{2 t}=\frac{e^{a}}{2 t} \bullet\left[(t+2) e^{t}+t-2\right] \\ & \text { 令 } g(t)=(t+2) e^{t}+t-2, \text { 则 } g(t)=(t+3) e^{t}+1>0 \text { 恒成立 } \\ & \therefore g(t)>g(0)=0 \text { 而 } \frac{e^{a}}{2 t}>0 \quad \therefore \frac{e^{a}}{2 t} \bullet\left[(t+2) e^{t}+t-2\right]>0 \\ & \text { 故 } \frac{f(a)+f(b)}{2}>\frac{f(b)-f(a)}{b-a} . \end{aligned} $$

【解析】：本题考查函数、导数、不等式、参数等问题，属于难题．第二问运用数形结合思想解决问题，能够比较清晰的分类，做到不吃不澗。最后一问，考查函数的凹凸性，富有明显的几何意义，为考生探索结论提供了明确的方向，对代数手段的解决起到导航作用。

【考点定位】本题考查考查函数的凹凸性、导数、不等式、参数等问题．属于难题．