2025_北京卷 (2025)
13．已知 $\alpha, \beta \in[0,2 \pi]$ ，且 $\sin (\alpha+\beta)=\sin (\alpha-\beta), \cos (\alpha+\beta) \neq \cos (\alpha-\beta)$ 。写出满足条件的一组 $\alpha, \beta$的值 $\alpha=$ $\_\_\_\_$，$\beta=$ $\_\_\_\_$．
【答案】
①．$\frac{\pi}{2}$（答案不唯一）
②．$\frac{\pi}{6}$（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解．
【详解】因为 $\sin (\alpha+\beta)=\sin (\alpha-\beta), \cos (\alpha+\beta) \neq \cos (\alpha-\beta)$ ，
所以 $\alpha+\beta, \alpha-\beta$ 的终边关于 $y$ 轴对称，且不与 $y$ 轴重合，
故 $\alpha+\beta+\alpha-\beta=\pi+2 k \pi, k \in \mathbf{Z}$ 且 $\alpha+\beta \neq \frac{\pi}{2}+l \pi, l \in \mathbf{Z}$ ，
即 $\alpha=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ，
故取 $\alpha=\frac{\pi}{2}, \beta=\frac{\pi}{6}$ 可满足题设要求；
故答案为：$\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{6}$（答案不唯一）