北京高考数学真题及答案解析

3. 已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 ( a > 0 )$ 的一条渐近线为 $y = { \frac { 2 } { 3 } } x$ ，则 $a =$

4. 在 $( a - { \sqrt { x } } ) ^ { 7 }$ 的展开式中 $, x ^ { 2 }$ 的系数为280，则 $a =$

5.下列函数中,既是奇函数,又在其定义域内单调递增的是

6. 已知向量a=(2,0)，b满足 $\left| { \vec { a } } - { \vec { b } } \right| = 2$ ，则 $\left| { \vec { b } } \right|$ 的最大值为A. B. C. D.

12．等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，满足 $S_6=6a_4+30$，且对任意 $n$ 有 $S_n\leqslant S_5$，则 $a_5$ 的一个可能取值为 ______.

14.三棱锥A-BCD中， $A D = A B = A C = 2 \sqrt { 2 } , B D = B C = 2 , D C = 2 \sqrt { 3 }$ ，则其底面BCD的面积为体积为

15.设c∈R，函数 $f ( x ) = | x ^ { 2 } - \cos x - c ^ { 2 } |$ 。给出下列四个论断：

①f(x)在(-1,1]上既有最小值又有最大值；

②当c=0时， $f ( x ) = 1$ 有3个解；

③当 $c = 1 , x \in ( 1 , 2 ]$ 时，f(x)有最大值；

④当 $c > 0$ 时，f(x)与y=c有4个交点。

其中正确论断的序号是

16.已知函数 $f ( x ) = 2 \mathrm { s i n } \omega x \mathrm { c o s } \varphi + 2 \mathrm { c o s } \omega x \mathrm { s i n } \varphi \big ( \omega > 0 , 0 < \varphi < \frac { \pi } { 2 } \big )$ 的最小正周期为π，且 $f { \bigl ( } { \frac { \pi } { 4 } } { \bigr ) } = 1$

(I)求ω，φ的值；

(II)求f(x) 的单调递减区间.

18.如图，直三棱柱 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 中， $\angle B A C = 9 0 ^ { \circ } , A B = A C = 2 , B B _ { 1 } = \sqrt { 2 } , E , D$ 分别为 $A _ { 1 } B _ { 1 } , A C$ 的中点。(I) 求证: $D E / /$ 平面 $B B _ { 1 } C _ { 1 } C ;$

(II) 点P在平面 $A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 内，且 $E P / / B _ { 1 } C _ { 1 }$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得P唯一 确定，求平面PAD与平面PDE的夹角的余弦值。

① $P A = P D ; \textcircled { 2 } P A \perp B C ; \textcircled { 3 } B B _ { 1 } / /$ 平面PDE。

(注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分。).

19. 已知椭圆 $E : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的一个顶点是(2,0)，离心率为 $\textstyle { \frac { 1 } { 2 } }$

(I) 求E的方程;

(II)过点A(1,1)作斜率为k(k≠±1)的直线交E于B,C两点。设D为B关于直线 $y = x$ 的对称点，直线DC交y=x于点Q。若 $| S _ { \Delta i B Q } - S _ { \Delta i C Q } | = \frac { 5 } { 8 }$ ,求k的值.

1. 集合 $M = \{ x \mid 2 x - 1 > 5 \}$ 了, $N = \{ 1 , 2 , 3 \}$ ，则 $M \cap N =$ （）

3. 双曲线 $x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } = 4$ 的离心率为 （）

5. 已知 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是公差不为0的等差数列， $a _ { 1 } = - 2$ ,若 $a _ { 3 } , a _ { 4 } , a _ { 6 }$ 成等比数列，则 $a _ { 1 0 } =$ （）

6. 已知 $a > 0 , b > 0$ ,则 （）

7.已知函数f(x)的定义域为D,则“函数 $f ( x )$ 的值域为 $R ^ { \ast }$ 是“对任意 $M \in R$ ，存在 $x _ { 0 } \in D$ ,使得 $| f ( x _ { 0 } ) | >$ M”的 （)

8. 设函数 $f ( x ) = \sin ( \omega x ) + \cos ( \omega x ) ( \omega > 0 )$ ,若 $f ( x + \pi ) = f ( x )$ 恒成立，且f(x)在 $\left[ 0 , { \frac { \pi } { 4 } } \right]$ 上存在零点，则ω的最小值为 （)

9.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间 $T = k \mathrm { l o g } _ { 2 } N ($ (单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从10⁶个单位增加到 $1 . 0 2 4 \times 1 0 ^ { 9 }$ 个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从 $1 . 0 2 4 \times 1 0 ^ { 9 }$ 个单位增加到 $4 . 0 9 6 \times 1 0 ^ { 9 }$ 个单位时，训练时间增加(单位：小时)（)

11. 抛物线 $y ^ { 2 } { = } 2 p x ( p > 0 )$ 的顶点到焦点的距离为3，则 $p =$

12.已知 $( 1 - 2 x ) ^ { 4 } = a _ { 0 } - 2 a _ { 1 } x + 4 a _ { 2 } x ^ { 2 } - 8 a _ { 3 } x ^ { 3 } + 1 6 a _ { 4 } x ^ { 4 }$ ,则 $a _ { 0 } =$ $a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } =$

13.已知 $\alpha , \beta \in [ 0 , 2 \pi ]$ ,且 $\sin ( \alpha + \beta ) = \sin ( \alpha - \beta ) , \cos ( \alpha + \beta ) \neq \cos ( \alpha - \beta )$ ，写出满足条件的一组 $\alpha =$ $\beta =$

14.某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形,平面 ARF⊥平面 ABC,平面 TCD⊥平面ABC, AB⊥BC,AB∥RS∥EF∥CD,AF∥ST∥/$B C / / E D$ ,若 AB= BC= 8, AF= CD = 4, $A R = R F = T C = T D = \frac { 5 } { 2 }$ ，则该多面体的体积为

15.关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有

①存在在R上单调递增的函数f(x)使得 $f ( x ) + f ( 2 x ) = - x$ 恒成立；

②存在在R上单调递减的函数f(x)使得 $f ( x ) + f ( 2 x ) = - x$ 恒成立；

③使得 $f ( x ) + f ( - x ) = \cos x$ 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；

④使得 $f ( x ) - f ( - x ) = \cos x$ 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.

16. 在 $\triangle A B C$ 中， $\displaystyle { \cos { A } = - \frac { 1 } { 3 } } , a { \sin { C } = 4 \sqrt { 2 } }$

(1) 求c;

(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得 $\triangle A B C$ 存在，求BC的高.

① $a = 6 ; \textcircled { 2 } b \sin C = \frac { 1 0 \sqrt { 2 } } { 3 }$ ;③ $\triangle A B C$ 面积为 $1 0 \sqrt { 2 }$

18.有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率.

(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率.

(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望.

(3)若甲校同学掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为 $p _ { 1 }$ ，乙校学生掌握该知识点的概率为 $p _ { 2 }$ ，试比较 $p _ { 1 }$ 与 $p _ { 2 }$ 的大小(结论不要求证明)

19. 已知 $E \colon { \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，椭圆上的点到两焦点距离之和为4，

(1) 求椭圆方程；

②设O为原点， $M ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( x _ { 0 } { \neq } 0 )$ 为椭圆上一点，直线 $x _ { 0 } x + 2 y _ { 0 } y - 4 = 0$ 与直线 $y = 2 , y = - 2$ 交于A，B. $\triangle { O A M }$ 与△OBM的面积为 $S _ { 1 } , S _ { 2 }$ ,比较 $\frac { S _ { 1 } } { S _ { 2 } } \frac { | O A | } { | O B | }$ 的大小.

1．已知集合 $M=\{x \mid 2 x-1>5\}, N=\{1,2,3\}$ ，则 $M \cap N=$

2．已知复数 $z$ 满足 $\mathrm{i} \cdot \mathrm{z}+2=2 \mathrm{i}$ ，则 $|z|=$

3．双曲线 $x^{2}-4 y^{2}=4$ 的离心率为

4．为了得到函数 $y=9^{x}$ 的图象，只需把函数 $y=3^{x}$ 的图象上所有点的

5．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差不为零的等差数列，$a_{1}=-2$ ，若 $a_{3}, a_{4}, a_{6}$ 成等比数列，则 $a_{10}=$