2015_退役省自主命题 (2015·文)
20、（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
如题（20）图，三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABC}$ 中，平面 $\mathrm{PAC} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, ~ \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$ ，点 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 在线段 AC 上，且 $\mathrm{AD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EC}=2, \mathrm{PD}=\mathrm{PC}=4$ ，点 F 在线段 AB 上，且 $\mathrm{EF} / / \mathrm{BC}$ ．
（ I ）证明： $\mathrm{AB} \perp$ 平面 PFE ．
（II）若四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{DFBC}$ 的体积为 7 ，求线段 BC 的长．
【答案】（I）祥见解析；（II） $\mathrm{BC}=3$ 或 $\mathrm{BC}=3 \sqrt{3}$ ．
【解析】
试题分析 ：（ I ）先由已知易得 $P E \perp A C$ ，再注意平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$ ，且交线为 $A C$ ，由面面垂直的性质可得 $P E \perp$ 平面 $A B C$ ，再由线面垂直的性质可得到 $A B \perp P E$ ；再注意到 $E F / / B C$ ，而 $B C \perp A B$ ，从而有 $A B \perp E F$ ，那么由线面垂的判定定理可得 $A B \perp$ 平面 $P F E$ ；
（II）设 $\mathrm{BC}=x$ 则可用 $x$ 将四棱锥 $P-D F B C$ 的体积表示出来，由已知其体积等于 7 ，从而得到关于 $x$ 的一个一元方程，解此方程，再注意到 $x>0$ 即可得到 $B C$ 的长．
试题解析：证明：如题（20）图．由 $D E=E C, P D=P C$ 知，$E$ 为等腰 DPDC 中 $D C$ 边的中点，故 $P E^{\wedge} A C$,
又平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A C=$ Ç平面 $A B C=A C, P E$ ì 平面 $P A C, P E^{\wedge} A C$ ，所以 $P E^{\wedge}$ 平面 $A B C$ ，从而 $P E^{\wedge} A B$ ．
因 $\mathrm{ABC}=\frac{p}{2}, E F \| B C$ ，故 $\mathrm{AB}^{\wedge} \mathrm{EF}$ 。
从而 AB 与平面 $P F E$ 内两条相交直线 $P E, E F$ 都垂直，
所以 $\mathrm{AB}^{\wedge}$ 平面 $P F E$ ．
（2）解：设 $\mathrm{BC}=x$ ，则在直角 $\triangle A B C$ 中，
$\mathrm{AB}=\sqrt{\mathrm{AC}^{2}-B C^{2}}=\sqrt{36-x^{2}}$ ．从而 $\mathrm{S}_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{BC}=\frac{1}{2} x \sqrt{36-x^{2}}$
由 $E F \| B C$ ，知 $\frac{A F}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{2}{3}$ ，得 $\triangle A E F \sim \triangle A B C$ ，故 $\frac{S_{\triangle A E F}}{\mathrm{~S}_{\triangle A B C}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$ ，
即 $S_{\triangle A E F}=\frac{4}{9} S_{\triangle A B C}$ ．
由 $\mathrm{AD}=\frac{1}{2} A E, \mathrm{~S}_{\triangle A F B}=\frac{1}{2} \mathrm{~S}_{\triangle A F E}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \mathrm{~S}_{\triangle A B C}=\frac{2}{9} \mathrm{~S}_{\triangle A B C}=\frac{1}{9} x \sqrt{36-x^{2}}$ ，
从而四边形 DFBC 的面积为 $\mathrm{S}_{\mathrm{DFBC}}=\mathrm{S}_{\mathrm{DABC}}-S_{\mathrm{DADF}}=\frac{1}{2} x \sqrt{36-x^{2}}-\frac{1}{9} x \sqrt{36-x^{2}}=\frac{7}{18} x \sqrt{36-x^{2}}$
由（1）知， $\mathrm{PE} P E^{\wedge}$ 平面 $A B C$ ，所以 PE 为四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{DFBC}$ 的高．
在直角 DPEC 中， $\mathrm{PE}=\sqrt{\mathrm{PC}^{2}-E C^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2 \sqrt{3}$ ，
体积 $V_{P-D F B C}=\frac{1}{3} \times \mathrm{S}_{\mathrm{DFBC}} \times P E=\frac{1}{3} \times \frac{7}{18} \times \sqrt{36-x^{2}} \times 2 \sqrt{3}=7$ ，
故得 $x^{4}-36 x^{2}+243=0$ ，解得 $x^{2}=9$ 或 $x^{2}=7$ ，由于 $x>0$ ，可得 $x=3$ 或 $x=3 \sqrt{3}$ ．
所以 $B C=3$ 或 $\mathrm{BC}=3 \sqrt{3}$ ．
【考点定位】1．空间线面垂直关系；2．锥体的体积；3．方程思想．
【名师点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系的判定及简单几何体的体积的运算，第一问通过应用面面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直来完成证明，第二通过设元，将已知几何体的体积表示出来，建立方程，通过解方程完成解答．本题属于中档题，注意方程思想在解题过程中的应用．