（12分）设 A B C 的内角 A, B, C 的内角对…——2013 高考数学第 18 题答案解析

【考点】GP：两角和与差的三角函数； HR ：余弦定理．
【专题】58：解三角形．
【分析】（1）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式 ，利用余弦定理表示出 $\cos \mathrm{B}$ ，将关系式代入求出 $\cos \mathrm{B}$ 的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）由（I）得到 $\mathrm{A}+\mathrm{C}$ 的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简 $\cos$（A－C ），变形后将 $\cos (\mathrm{A}+\mathrm{C})$ 及 $2 \sin \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}$ 的值代入求出 $\cos (\mathrm{A}-\mathrm{C})$ 的值，利用特殊角的三角函数值求出 $\mathrm{A}-\mathrm{C}$ 的值，与 $\mathrm{A}+\mathrm{C}$ 的值联立即可求出 C 的度数。

【解答】解：（I）$\because(a+b+c)(a-b+c)=(a+c)^{2}-b^{2}=a c$ ，
$\therefore \mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{b}^{2}=-\mathrm{ac}$ ，
$\therefore \cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=-\frac{1}{2}$,
又 $B$ 为三角形的内角，
则 $\mathrm{B}=120^{\circ}$ ；
（II）由（I）得：$A+C=60^{\circ}, \because \sin A \sin C=\frac{\sqrt{3}-1}{4}, \cos (A+C)=\frac{1}{2}$ ，
$\therefore \cos (A-C)=\cos A \cos C+\sin A \sin C=\cos A \cos C-\sin A \sin C+2 \sin A \sin C=\cos (A+C)+2 s$

$$ \operatorname{in} \mathrm{A} \sin \mathrm{C}=\frac{1}{2}+2 \times \frac{\sqrt{3}-1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

$\therefore \mathrm{A}-\mathrm{C}=30^{\circ}$ 或 $\mathrm{A}-\mathrm{C}=-30^{\circ}$ ，
则 $\mathrm{C}=15^{\circ}$ 或 $\mathrm{C}=45^{\circ}$ ．
【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．