2015_退役省自主命题 (2015·理)
10．某工件的三视图如图 3 所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新
工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率 $=\frac{\text { 新工件的体积 }}{\text { 原工件的体积 }}$
正规图
側樌图
借桹園【答案】A．
## 【解析】
试题分析：分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为 $x, y, h$，长方体上底面截圆锥的截面半径为 $a$，则 $x^{2}+y^{2}=(2 a)^{2}=4 a^{2}$，如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知 $\frac{a}{1}=\frac{2-h}{2} \Rightarrow h=2-2 a$，而长方体的体积 $V=x y h \leq \frac{x^{2}+y^{2}}{2} h=2 a^{2} h=2 a^{2}(2-2 a) \leq 2 \times\left(\frac{a+a+2-2 a}{3}\right)^{3}=\frac{16}{27}$，当且仅当 $x=y, a=2-2 a \Rightarrow a=\frac{2}{3}$ 时，等号成立，此时利用率为 $\frac{\frac{16}{27}}{\frac{1}{3} \pi \times 1^{2} \times 2}=\frac{8}{9 \pi}$，故选 A．
【考点定位】1．圆锥的内接长方体；2．基本不等式求最值．
【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一
是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值．
## 二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．