已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶…——2022 高考数学第 12 题答案解析

【答案】C

## 【解析】

**方法一**：先证明当四棱锥的顶点 $O$ 到底面 $A B C D$ 所在小圆距离一定时，底面 $A B C D$ 面积最大值为 $2 r^{2}$ ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值。

**方法一**：【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 所在小圆半径为 $r$ ，
设四边形 $A B C D$ 对角线夹角为 $\alpha$ ，
则 $S_{A B C D}=\frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D \cdot \sin \alpha \leq \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D \leq \frac{1}{2} \cdot 2 r \cdot 2 r=2 r^{2}$
（当且仅当四边形 $A B C D$ 为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点 $O$ 到底面 $A B C D$ 所在小圆距离一定时，底面 $A B C D$ 面积最大值为 $2 r^{2}$
又设四棱锥的高为 $h$ ，则 $r^{2}+h^{2}=1$ ，
$V_{O-A B C D}=\frac{1}{3} \cdot 2 r^{2} \cdot h=\frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{r^{2} \cdot r^{2} \cdot 2 h^{2}} \leq \frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{\left(\frac{r^{2}+r^{2}+2 h^{2}}{3}\right)^{3}}=\frac{4 \sqrt{3}}{27}$

当且仅当 $r^{2}=2 h^{2}$ 即 $h=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时等号成立．
故选：C

**方法二**：统一变量＋基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 $a$ ，底面所在圆的半径为 $r$ ，则 $r=\frac{\sqrt{2}}{2} a$ ，所以该四棱锥的高 $h=\sqrt{1-\frac{a^{2}}{2}}$ ，
$V=\frac{1}{3} a^{2} \sqrt{1-\frac{a^{2}}{2}}=\frac{4}{3} \sqrt{\frac{a^{2}}{4} \cdot \frac{a^{2}}{4} \cdot\left(1-\frac{a^{2}}{2}\right)} \leq \frac{4}{3} \sqrt{\left(\frac{\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}+1-\frac{a^{2}}{2}}{3}\right)^{3}}=\frac{4}{3} \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{3}}=\frac{4 \sqrt{3}}{27}$
（当且仅当 $\frac{a^{2}}{4}=1-\frac{a^{2}}{2}$ ，即 $a^{2}=\frac{4}{3}$ 时，等号成立）
所以该四棱锥的体积最大时，其高 $h=\sqrt{1-\frac{a^{2}}{2}}=\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
故选：C．

**方法三**：利用导数求最值

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 $a$ ，底面所在圆的半径为 $r$ ，则 $r=\frac{\sqrt{2}}{2} a$ ，所以该四棱锥的高 $h=\sqrt{1-\frac{a^{2}}{2}}, V=\frac{1}{3} a^{2} \sqrt{1-\frac{a^{2}}{2}}$ ，令 $a^{2}=t(0$00$ ，单调递增，$\frac{4}{3}所以当 $t=\frac{4}{3}$ 时，$V$ 最大，此时 $h=\sqrt{1-\frac{a^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
故选：C．
**方法一**：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
**方法二**：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
**方法三**：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．