A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b…——2020 高考数学第 17 题答案解析

【答案】①$A=\frac{\pi}{3}$ ；
（2）证明见解析

## 【解析】

【分析】
（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系， $\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2}+A\right)+\cos A=\frac{5}{4}$ 可化为
$1-\cos ^{2} A+\cos A=\frac{5}{4}$ ，即可解出；
（2）根据余弦定理可得 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c$ ，将 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3} a$ 代入可找到 $a, b, c$ 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出。

【详解】（1）因为 $\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2}+A\right)+\cos A=\frac{5}{4}$ ，所以 $\sin ^{2} A+\cos A=\frac{5}{4}$ ，

即 $1-\cos ^{2} A+\cos A=\frac{5}{4}$ ，
解得 $\cos A=\frac{1}{2}$ ，又 $0所以 $A=\frac{\pi}{3}$ ；
（2）因为 $A=\frac{\pi}{3}$ ，所以 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{1}{2}$ ，
即 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c$①，
又 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3} a$②，将（2）代入①得，$b^{2}+c^{2}-3(b-c)^{2}=b c$ ，
即 $2 b^{2}+2 c^{2}-5 b c=0$ ，而 $b>c$ ，解得 $b=2 c$ ，
所以 $a=\sqrt{3} c$ ，
故 $b^{2}=a^{2}+c^{2}$ ，
即 $\triangle A B C$ 是直角三角形．
【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．