2015_退役省自主命题 (2015·理)
7．设四边形 ABCD 为平行四边形，$|\overrightarrow{A B}|=6,|\overrightarrow{A D}|=4$ 。若点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 满足 $\overrightarrow{B M}=3 \overrightarrow{M C}, \overrightarrow{D N}=2 \overrightarrow{N C}$ ，则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{N M}=$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】C
【解析】
$\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{N M}=\overrightarrow{C M}-\overrightarrow{C N}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{A D}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}$ ，所以
$\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{N M}=\frac{1}{4}(4 \overrightarrow{A B}+3 \overrightarrow{A D}) \cdot \frac{1}{12}(4 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{A D})=\frac{1}{48}\left(16 \overrightarrow{A B}^{2}-9 \overrightarrow{A D}^{2}\right)=\frac{1}{48}(16 \times 36-9 \times 16)=9$ ，选 C．
【考点定位】平面向量．
【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素．本题中，由于 $|\overrightarrow{A B}|=6,|\overrightarrow{A D}|=4$ 故可选 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}$ 作为基底．