（本小题满分 12 分） 设 A B C 的内角 A, B…——2013 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（12分）（2013．山东）设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a+c=6, b=2, \cos B=\frac{7}{9}$ ．
①求 a ， c 的值；
②求 $\sin (A-B)$ 的值．

考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理．
专题：解三角形。
分析：①利用余弦定理列出关于新，将 b 与 $\operatorname{cosB}$ 的值代入，利用完全平方公式变形，求出 acb 的值，与 $\mathrm{a}+\mathrm{c}$ 的值联立即可求出 a 与 c 的值即可；
②先由 $\cos \mathrm{B}$ 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 $\sin \mathrm{B}$ 的值，再由 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 及 $\sin \mathrm{B}$ 的值，利用正弦定理求出 $\sin \mathrm{A}$ 的值，进而求出 $\cos \mathrm{A}$ 的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：解：（1）$\because a+c=6(1), b=2, \cos B=\frac{7}{9}$ ，
∴ 由余弦定理得： $\mathrm{b}^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{accos} \mathrm{B}=(\mathrm{a}+\mathrm{c})^{2}-2 \mathrm{ac}-\frac{14}{9} \mathrm{ac}=36-\frac{32}{9} \mathrm{ac}=4$ ，

整理得： $\mathrm{ac}=9(2)$ ，
联立①②解得：$a=c=3$ ；
②$\because \cos B=\frac{7}{9}$ ，B为三角形的内角，
$\therefore \sin B=\sqrt{1-\left(\frac{7}{9}\right)^{2}}=\frac{4 \sqrt{2}}{9}$,
$\because b=2, a=3, \quad \sin B=\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ ，
∴ 由正弦定理得： $\sin \mathrm{A}=\frac{\mathrm{a} \sin \mathrm{B}}{\mathrm{b}}=\frac{3 \times \frac{4 \sqrt{2}}{9}}{2}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，
$\because a=c$ ，即 $A=C, ~ \therefore A$ 为锐角，
$\therefore \cos \mathrm{A}=\sqrt{1-\sin ^{2} \mathrm{~A}}=\frac{1}{3}$ ，
则 $\sin (A-B)=\sin A \cos B-\cos A \sin B=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \times \frac{7}{9}-\frac{1}{3} \times \frac{4 \sqrt{2}}{9}=\frac{10 \sqrt{2}}{27}$ ．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．