如图，在长方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_…——2020 高考数学第 19 题答案解析

（1）证明：
在长方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{D_{1}C_{1}}$，$\overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{DD_{1}}$。
由已知 $2DE=ED_{1}$，可得 $\overrightarrow{ED_{1}} = \frac{2}{3}\overrightarrow{DD_{1}}$。
由 $BF=2FB_{1}$，可得 $\overrightarrow{BF} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BB_{1}}$。
所以 $\overrightarrow{ED_{1}} = \overrightarrow{BF}$。
又 $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{EC_{1}} = \overrightarrow{ED_{1}} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}}$。
因为 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{D_{1}C_{1}}$，$\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{ED_{1}}$，
所以 $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{EC_{1}}$。
即 $AF // EC_{1}$ 且 $AF = EC_{1}$，所以四边形 $AEC_{1}F$ 为平行四边形。
故点 $C_{1}$ 在平面 $AEF$ 内。

（2）解：
以 $D_{1}$ 为坐标原点，$\overrightarrow{D_{1}A_{1}}, \overrightarrow{D_{1}C_{1}}, \overrightarrow{D_{1}D}$ 的方向分别为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $D_{1}-xyz$。
由 $AB=2, AD=1, AA_{1}=3$，得 $D_{1}A_{1}=1, D_{1}C_{1}=2, D_{1}D=3$。
则 $D_{1}(0,0,0), A_{1}(1,0,0), C_{1}(0,2,0), A(1,0,3)$。
由 $2DE=ED_{1}$ 得 $ED_{1} = \frac{2}{3}DD_{1} = 2$，所以 $E(0,0,2)$。
由 $BF=2FB_{1}$ 得 $FB_{1} = \frac{1}{3}BB_{1} = 1$，且 $B_{1}(1,2,0)$，所以 $F(1,2,1)$。

$\overrightarrow{AE} = (0-1, 0-0, 2-3) = (-1, 0, -1)$，
$\overrightarrow{AF} = (1-1, 2-0, 1-3) = (0, 2, -2)$。
设平面 $AEF$ 的法向量为 $\vec{m} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$，
则 $\begin{cases} \vec{m} \cdot \overrightarrow{AE} = -x_{1} - z_{1} = 0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{AF} = 2y_{1} - 2z_{1} = 0 \end{cases}$。
取 $z_{1} = -1$，得 $x_{1} = 1, y_{1} = -1$，所以 $\vec{m} = (1, -1, -1)$。

$\overrightarrow{A_{1}E} = (0-1, 0-0, 2-0) = (-1, 0, 2)$，
$\overrightarrow{A_{1}F} = (1-1, 2-0, 1-0) = (0, 2, 1)$。
设平面 $A_{1}EF$ 的法向量为 $\vec{n} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$，
则 $\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{A_{1}E} = -x_{2} + 2z_{2} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{A_{1}F} = 2y_{2} + z_{2} = 0 \end{cases}$。
取 $z_{2} = 2$，得 $x_{2} = 4, y_{2} = -1$，所以 $\vec{n} = (4, -1, 2)$。

设二面角 $A-EF-A_{1}$ 的平面角为 $\theta$，
则 $|\cos \theta| = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{|1 \times 4 + (-1) \times (-1) + (-1) \times 2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{4^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{3}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}} = \frac{3}{3\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$。
所以 $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^{2} \theta} = \sqrt{1 - \frac{1}{7}} = \frac{\sqrt{42}}{7}$。
即二面角 $A-EF-A_{1}$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$。