如图，在长方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_…——2020 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；②$\frac{\sqrt{42}}{7}$ ．

## 【解析】

## 【分析】

（1）连接 $C_{1} E , C_{1} F$ ，证明出四边形 $A E C_{1} F$ 为平行四边形，进而可证得点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内；
（2）以点 $C_{1}$ 为坐标原点，$C_{1} D_{1} , C_{1} B_{1} , C_{1} C$ 所在直线分别为 $x , y , z$ 轴建立空间直角坐标系 $C_{1}-x y z$ ，利用空间向量法可计算出二面角 $A-E F-A_{1}$ 的余弦值，进而可求得二面角 $A-E F-A_{1}$ 的正弦值．

【详解】（1）在棱 $C C_{1}$ 上取点 $G$ ，使得 $C_{1} G=\frac{1}{2} C G$ ，连接 $D G , F G , C_{1} E , C_{1} F$ ，

在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A D / / B C$ 且 $A D=B C, B B_{1} / / C C_{1}$ 且 $B B_{1}=C C_{1}$ ，
$\because C_{1} G=\frac{1}{2} C G, B F=2 F B_{1}, \therefore C G=\frac{2}{3} C C_{1}=\frac{2}{3} B B_{1}=B F$ 且 $C G=B F$ ，
所以，四边形 $B C G F$ 为平行四边形，则 $A F / / D G$ 且 $A F=D G$ ，
同理可证四边形 $D E C_{1} G$ 为平行四边形，$\therefore C_{1} E / / D G$ 且 $C_{1} E=D G$ ，
$\therefore C_{1} E / / A F$ 且 $C_{1} E=A F$ ，则四边形 $A E C_{1} F$ 为平行四边形，

因此，点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内；
（2）以点 $C_{1}$ 为坐标原点，$C_{1} D_{1} , C_{1} B_{1} , C_{1} C$ 所在直线分别为 $x , y , z$ 轴建立如下图所示

的空间直角坐标系 $C_{1}-x y z$ ，
则 $A(2,1,3) , A_{1}(2,1,0) , E(2,0,2) , F(0,1,1)$ ，
$\overrightarrow{A E}=(0,-1,-1), \quad \overrightarrow{A F}=(-2,0,-2), \quad \overrightarrow{A_{1} E}=(0,-1,2), \quad \overrightarrow{A_{1} F}=(-2,0,1)$ ，
设平面 $A E F$ 的法向量为 $\vec{m}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}\vec{m} \cdot \overrightarrow{A E}=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{A F}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}-y_{1}-z_{1}=0 \\ -2 x_{1}-2 z_{1}=0\end{array}\right.$ 取 $z_{1}=-1$ ，得 $x_{1}=y_{1}=1$ ，则 $\vec{m}=(1,1,-1)$ ，
设平面 $A_{1} E F$ 的法向量为 $\vec{n}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{A_{1} E}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{A_{1} F}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}-y_{2}+2 z_{2}=0 \\ -2 x_{2}+z_{2}=0\end{array}\right.$ ，取 $z_{2}=2$ ，得 $x_{2}=1, y_{2}=4$ ，则 $\vec{n}=(1,4,2)$ ，

$\cos \langle\vec{m}, \vec{n}\rangle=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot|\vec{n}|}=\frac{3}{\sqrt{3} \times \sqrt{21}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$,
设二面角 $A-E F-A_{1}$ 的平面角为 $\theta$ ，则 $|\cos \theta|=\frac{\sqrt{7}}{7}, \therefore \sin \theta=\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}=\frac{\sqrt{42}}{7}$ ．
因此，二面角 $A-E F-A_{1}$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ．
【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题．