（5分）若函数 f(x)=x^ 2 +a x+ 1 x 在…——2013 高考数学第 9 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】由函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}+\frac{1}{\mathrm{x}}$ 在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上是增函数，可得 $f^{\prime}(x)=2 x+a-\frac{1}{x^{2}} \geq 0$ 在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上恒成立，进而可转化为 $a \geq \frac{1}{x^{2}}-2 x$ 在（ $\frac{1}{2}$ ，$+\infty$ ）上恒成立，构造函数求出 $\frac{1}{\mathrm{x}^{2}}-2 \mathrm{x}$ 在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上的最值，可得 a 的取值范围。
【解答】解：$\because \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}+\frac{1}{\mathrm{x}}$ 在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上是增函数，
故 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}+\mathrm{a}-\frac{1}{\mathrm{x}^{2}} \geq 0$ 在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上恒成立，
即 $a \geq \frac{1}{x^{2}}-2 x$ 在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上恒成立，
令 $h(x)=\frac{1}{x^{2}}-2 x$ ，
则 $\mathrm{h}^{\prime}(\mathrm{x})=-\frac{2}{\mathrm{x}^{3}}-2$ ，
当 $x \in\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 时，$h^{\prime}(x)<0$ ，则 $h(x)$ 为减函数．
$\therefore h(x)<h\left(\frac{1}{2}\right)=3$
$\therefore a \geq 3$ ．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导

数的综合应用，难度中档．