（5 分）函数 f(x)= x x-1 (x 2) 的最大…——2016 高考数学第 10 题答案解析

【考点】34：函数的值域．
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】分离常数便可得到 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=1+\frac{1}{\mathrm{x}-1}$ ，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在 $[2,+\infty)$ 上为减函数，从而 $x=2$ 时 $f(x)$ 取最大值，并可求出该最大值。

【解答】解：$f(x)=\frac{x}{x-1}=\frac{x-1+1}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$ ；
$\therefore f(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 上单调递减；
$\therefore x=2$ 时，$f(x)$ 取最大值 2 。
故答案为： 2 ．
【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．