2016 北京卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）已知集合 $A=\{x \mid 25\}$ ，则 $A \cap B=$

2．（5 分）复数 $\frac{1+2 i}{2-i}=$

3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出 s 的值为（ ）

4．（5 分）下列函数中，在区间 $(-1,1)$ 上为减函数的是（）

5．（5 分）圆 $(x+1)^{2}+y^{2}=2$ 的圆心到直线 $y=x+3$ 的距离为（）

6．（5 分）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（）

7．（5 分）已知 $A(2,5), B(4,1)$ ．若点 $P(x, y)$ 在线段 $A B$ 上，则 $2 x-y$的最大值为（）

8．（5 分）某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．

在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则

9．（5 分）已知向量 $\vec{a}=(1, \sqrt{3}), \vec{b}=(\sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的大小为一 $\frac{\pi}{6}$ —。

10．（5 分）函数 $f(x)=\frac{x}{x-1}(x \geqslant 2)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 2 ．

11．（5 分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 $\_\_\_\_$ $\frac{3}{2}$ ．

俯视图

12．（5 分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线为 $2 x+y=0$ ，一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，则 $\mathrm{a}=$

13．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=\frac{2 \pi}{3}, a=\sqrt{3} c$ ，则 $\frac{b}{c}=1$ 。

14．（5 分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店
（1）第一天售出但第二天未售出的商品有 $\_\_\_\_$ 16种；
（2）这三天售出的商品最少有 $\_\_\_\_$ 29种。

15．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，且 $b_{2}=3, b_{3}=9, a_{1}=b_{1}$ ， $a_{14}=b_{4}$.
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

16．（13 分）已知函数 $f(x)=2 \sin \omega x \cos \omega x+\cos 2 \omega x(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$ ．
（1）求 $\omega$ 的值；
（2）求 $f(x)$ 的单调递增区间。

17．（13 分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元／立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元／立方米收费，从该市

随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：

（1）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 $80 \%$ 以上居民在该月的用水价格为 4 元／立方米， w 至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 $\mathrm{w}=3$ 时，估计该市居民该月的人均水费．

18．（14分）如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P C \perp$ 平面 $A B C D, A B / / D C, D C \perp A C$ ．
（1）求证： $\mathrm{DC} \perp$ 平面 PAC ；（2）求证：平面 $\mathrm{PAB} \perp$ 平面 PAC ；
（3）设点 $E$ 为 $A B$ 的中点，在棱 $P B$ 上是否存在点 $F$ ，使得 $P A / /$ 平面 $C E F$ ？说明理由。

19．（14 分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $A(2,0), B(0,1)$ 两点．
（1）求椭圆 C 的方程及离心率；
②设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB与 $x$ 轴交于点 $N$ ，求证：四边形 $A B N M$ 的面积为定值．

20．（13 分）设函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程；
②设 $a=b=4$ ，若函数 $f(x)$ 有三个不同零点，求 $c$ 的取值范围；
（3）求证：$a^{2}-3 b>0$ 是 $f(x)$ 有三个不同零点的必要而不充分条件．