（12分）（2013 • 广东）已知函数 f ( x )=…——2013 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（12分）（ $2013 \cdot$ 广东）已知函数 $f(x)=\sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{12}\right), x \in R$ 。
（1）求 $f\left(-\frac{\pi}{6}\right)$ 的值；
（2）若 $\cos \theta=\frac{3}{5}, \quad \theta \in\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$ ，求 $f\left(2 \theta+\frac{\pi}{3}\right)$ ．

考点：
二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数．
专题：
三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：
（1）把 $\mathrm{x}=-\frac{\pi}{6}$ 直接代入函数解析式求解。
（2）先由同角三角函数的基本关系求出 $\sin \theta$ 的值以及 $\sin 2 \theta$ ，然后将 $\mathrm{x}=2 \theta+\frac{\pi}{3}$ 代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．
解答：
解：（1）$f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{2} \cos \left(-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{12}\right)=\sqrt{2} \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=1$
（2）因为 $\cos \theta=\frac{3}{5}, \theta \in\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$

$$ \begin{aligned} & \text { 所以 } \sin \theta=-\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}=-\frac{4}{5} \\ & \text { 所以 } \sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta=2 \times\left(-\frac{4}{5}\right) \times \frac{3}{5}=-\frac{24}{25} \\ & \cos 2 \theta=\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta=\left(\frac{3}{5}\right)^{2}-\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{25} \\ & \text { 所以 } f\left(2 \theta+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2} \cos \left(2 \theta+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{12}\right)=\sqrt{2} \cos \left(2 \theta+\frac{\pi}{4}\right)=\cos 2 \theta-\sin 2 \theta= \\ & -\frac{7}{25}-\left(-\frac{24}{25}\right)=\frac{17}{25} \end{aligned} $$

点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合，要注意角的范围。