2025_北京卷 (2025)
14．某科技兴趣小组用 3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中 $A B C D E F$ 是一个平面多边形，平面 $A F R \perp$ 平面 $A B C$ ，平面 $C D T \perp$ 平面 $A B C, A B \perp B C, A B / / E F / / R S / / C D$ ，
$B C / / D E / / S T / / A F$ 。若 $A B=B C=8, A F=C D=4, R A=R F=T C=T D=\frac{5}{2}$ ，则该多面体的体积为
$\_\_\_\_$．
【答案】60
【解析】
【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱 $A R F-B H T$ 和四棱锥 $B-H T S E$ 后结合体积公式可求几何体的体积。
【详解】先证明一个结论：如果平面 $\alpha \perp$ 平面 $\gamma$ ，平面 $\beta \perp$ 平面 $\gamma$ ，平面 $\alpha \cap \beta=l$ ，则 $l \perp \gamma$ 。
证明：设 $\alpha \cap \gamma=a, \beta \cap \gamma=b$ ，平面 $\gamma$ 取一点 $O, O \notin a, O \notin b$ ，
在平面 $\gamma$ 内过 $O$ 作直线 $m$ ，使得 $m \perp a$ ，作直线 $n$ ，使得 $n \perp b$ ，
因为平面 $\alpha \perp$ 平面 $\gamma, m \subset \gamma$ ，故 $m \perp \alpha$ ，而 $l \subset \alpha$ ，故 $m \perp l$ ，
同理 $n \perp l$ ，而 $m \cap n=O, m, n \subset \gamma$ ，故 $l \perp \gamma$
下面回归问题．
连接 $B E$ ，因为 $A B \perp B C$ 且 $A F / / B C$ ，故 $A F \perp A B$ ，同理 $B C \perp C D, E F \perp E D$ ，
而 $A B=B C=8, A F=C D=4$ ，故直角梯形 $A B E F$ 与直角梯形 $C B E D$ 全等，
故 $\angle B E F=\angle B E D=45^{\circ}$ ，
在直角梯形 $A B E F$ 中，过 $B$ 作 $B T \perp E F$ ，垂足为 $T$ ，
则四边形 $A B T F$ 为矩形，且 □ BTE 为以 $\angle B T E$ 为直角的等腰直角三角形，
故 $E F=F T+T E=A B+B T=A B+A F=12$ ，
平面 $R A F \perp$ 平面 $A B E F$ ，平面 $R A F \bigcap$ 平面 $A B E F=A F, A F \perp A B$ ，
$A B \subset$ 平面 $A B E F$ ，故 $A B \perp$ 平面 $R A F$ ，
取 $A F$ 的中点为 $M, B E$ 的中点为 $U, C D$ 的中点为 $V$ ，连接 $R M, M U, S U, U V$ ，
则 $M U / / R S$ ，同理可证 $R M \perp$ 平面 $A B E F$ ，而 $R M \subset$ 平面 RMUS，
故平面 RMUS ⟂ 平面 $A B E F$ ，同理平面 $V U S \perp$ 平面 $A B E F$ ，
而平面 $R M U S \cap$ 平面 $V U S=S U$ ，故 $S U \perp$ 平面 $A B E F$ ，
故 $R M / / S U$ ，故四边形 $R M U S$ 为平行四边形，故 $M U=R S=\frac{1}{2}(8+12)=10$ 。
在平面 $A B H R$ 中过 $B$ 作 $B H / / A R$ ，交 $R H$ 于 $H$ ，连接 $H T$ 。
则四边形 $A B H R$ 为平行四边形，且 $R H / / A B, R H=A B$ ，故 $R H / / F T, R H=F T$ ，
故四边形 RFTH 为平行四边形，
而 $B H \perp A B, B T \perp A B, B T \cap B H=B, B T, B H \subset$ 平面 BHT ，
故 $A B \perp$ 平面 BHT，故平面 ARF／／平面 BHT，
而 $A R=B H, R F=H T, A F=B T$ ，故 $\triangle A R F \cong \triangle B H T$ ，
故几何体 $A R F-B H T$ 直棱柱，
而 $S_{\square A R F}=\frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}-4}=3$ ，故 $V_{A R F-B H T}=8 \times 3=24$ ，
因为 $A B / / E F$ ，故 $E F$ ⟂平面 $A R F$ ，
而 $E F \subset$ 平面 $R S E F$ ，故平面 $A R F \perp$ 平面 $R S E F$ ，
在平面 $A R F$ 中过 A 作 $A G \perp R F$ ，垂足为 $G$ ，同理可证 $A G \perp$ 平面 $R S E F$ ，
而 $\frac{1}{2} A G \times R F=3$ ，故 $A G=\frac{12}{5}$ ，故 $V_{B-H T E S}=\frac{1}{3} \times \frac{12}{5} \times \frac{1}{2}(2+4) \times \frac{5}{2}=6$ ，
由对称性可得几何体的体积为 $2 \times(24+6)=60$ ，
故答案为：60．