（本小题满分 14 分） 如图 6，已知正方体 A B C…——2009 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（1）解：∵ 点 $\mathrm{D}, E_{1}, G_{1}$ 分别是点 $\mathrm{A}, \mathrm{E}, \mathrm{G}$ 在平面 $D C C_{1} D_{1}$ 内的正投影．
∴ 四边形 $F G A E$ 在平面 $D C C_{1} D_{1}$ 内的正投影为四边形 $F G_{1} D E_{1}$

$$ S_{F G_{1} D E_{1}}=2^{2}-\frac{1}{2} \times 2 \times 1-\left(\frac{1}{2} \times 1 \times 1\right) \times 2=2 $$

又 $E E_{1} \perp$ 平面 $D C C_{1} D_{1}$ ，且 $E E_{1}=1$
所以，所求锥体的体积为

$$ V_{E-F G_{1} D E_{1}}=\frac{1}{3} S_{F G_{1} D E_{1}} \cdot E E_{1}=\frac{1}{3} \times 2 \times 1=\frac{2}{3} $$

（2）证明：$\because E E_{1} \perp$ 平面 $D C C_{1} D_{1}, F G_{1} \subset$ 平面 $D C C_{1} D_{1}$ ，

$$ \therefore E E_{1} \perp F G_{1} $$

∵ 在正方形 $D C C_{1} D_{1}$ 中，$E_{1}, F, G_{1}$ 分别是 $C C_{1}, C_{1} D_{1}, D_{1} D$ 的中点，

$$ \begin{aligned} & \therefore E_{1} C_{1}=C_{1} F=F D_{1}=D_{1} G_{1}=1, \\ & \quad \angle E_{1} F C_{1}=\angle G_{1} F D_{1}=45^{0} \\ & \therefore \angle E_{1} F G_{1}=90^{O} \\ & \therefore E_{1} F \perp F G_{1} \\ & \quad \text { 又 } E E_{1} \cap E_{1} F=E_{1} \\ & \therefore F G_{1} \perp \text { 平面 } F E E_{1} ; \end{aligned} $$

③设 $G G_{1}$ 的中点为 H ，连结 $\mathrm{EH}, E_{1} G_{1}$
则 $\mathrm{EH}\left\|E_{1} G_{1}\right\| \mathrm{CD}$ ，且 $\mathrm{EH}=E_{1} G_{1}=\mathrm{CD}=2$ ，

$\angle \mathrm{AEH}$ 就是异面直线 $E_{1} G_{1}$ 与 $E A$ 所成角
又 $\mathrm{CD} \perp$ 平面 $A A_{1} D D_{1}$ ，

$$ \therefore \mathrm{EH} \perp \text { 平面 } A A_{1} D D_{1} $$

在 $\mathrm{RT} \triangle \mathrm{AEH}$ 中， $\mathrm{EH}=2, \mathrm{AH}=\sqrt{2}$ ，所以 $\mathrm{EA}=\sqrt{6}$
所以，异面直线 $E_{1} G_{1}$ 与 $E A$ 所成角的正弦值为 $\sin \angle A E H=\frac{A H}{E A}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。
解法2：（1）依题作点 $E , G$ 在平面 $D C C_{1} D_{1}$ 内的正投影 $E_{1} , G_{1}$ ，则 $E_{1} , G_{1}$ 分别为 $C C_{1} , D D_{1}$ 的中点，连结 $E E_{1} , E G_{1} , E D , D E_{1}$ ，则所求为四棱锥 $E-D E_{1} F G_{1}$ 的体积，其底面 $D E_{1} F G_{1}$ 面积为
$S_{D E_{1} F G_{1}}=S_{R t \Delta E_{1} F G_{1}}+S_{R t \Delta D G_{1} E_{1}}=\frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}+\frac{1}{2} \times 1 \times 2=2$ ，
又 $E E_{1} \perp$ 面 $D E_{1} F G_{1}, E E_{1}=1, \therefore V_{E-D E_{1} F G_{1}}=\frac{1}{3} S_{D E_{1} F G_{1}} \cdot E E_{1}=\frac{2}{3}$ ．
（2）以 $D$ 为坐标原点，$D A , D C , D D_{1}$ 所在直线分别作 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴，得 $E_{1}(0,2,1) , G_{1}(0,0,1)$ ，又 $G(2,0,1), F(0,1,2), E(1,2,1)$ ，则 $\overrightarrow{F G_{1}}=(0,-1,-1), \overrightarrow{F E}=(1,1,-1), \overrightarrow{F E_{1}}=(0,1,-1)$ ，
$\therefore \overrightarrow{F G_{1}} \cdot \overrightarrow{F E}=0+(-1)+1=0, \overrightarrow{F G_{1}} \cdot \overrightarrow{F E_{1}}=0+(-1)+1=0$ ，即 $F G_{1} \perp F E, F G_{1} \perp F E_{1}$ ，
又 $F E_{1} \cap F E=F, \therefore F G_{1} \perp$ 平面 $F E E_{1}$ ．
③ $\overrightarrow{E_{1} G_{1}}=(0,-2,0), \overrightarrow{E A}=(1,-2,-1)$ ，则 $\cos \left\langle\overrightarrow{E_{1} G_{1}}, \overrightarrow{E A}\right\rangle=\frac{\overrightarrow{E_{1} G_{1}} \cdot \overrightarrow{E A}}{\left|\overrightarrow{E_{1} G_{1}}\right||\overrightarrow{E A}|}=\frac{2}{\sqrt{6}}$ ，设异面直线 $E_{1} G_{1}$ 与 $E A$ 所成角为 $\theta$ ，则 $\sin \theta=\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．