2009 高考数学第 20 题答案解析

18．（本小题满分 14 分）
如图 6 ，已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 2 ，
点 E 是正方形 $B C C_{1} B_{1}$ 的中心，点 $\mathrm{F} , \mathrm{G}$ 分别是棱 $C_{1} D_{1}, A A_{1}$ 的中点．设点 $E_{1}, G_{1}$ 分别是点 $\mathrm{E} , \mathrm{G}$ 在平面 $D C C_{1} D_{1}$ 内的正投影。
（1）求以 E 为顶点，以四边形 $F G A E$ 在平面 $D C C_{1} D_{1}$ 内
的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（2）证明：直线 $F G_{1} \perp$ 平面 $F E E_{1}$ ；
（3）求异面直线 $E_{1} G_{1}$ 与 $E A$ 所成角的正弦值