2013 全国高考数学 2013_退役省自主命题 (2013·理) 第 19 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

19．（本小题满分 12 分）
如图5，在直棱柱
$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A D / / B C, \angle B A D=90^{\circ}, A C \perp B D, B C=1, A D=A A_{1}=3$．
（I）证明：$A C \perp B_{1} D$；
（II）求直线 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值。

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图5

Accepted Answer

(1) 因为 $B_{1} B \perp$ 平面 $A B C D$，所以 $B D$ 为 $B_{1} D$ 在平面 $A B C D$ 内的投影；因为 $A C \perp B D$，由三垂线定理可知 $A C \perp B_{1} D$; (2) 以 A 为原点， AB 所在边为 x 轴， AD 所在边为 y 轴， AA 1 所在边为 z 轴建立空间直角坐标系，则 $A(0,0,0), C(m, 1,0), D_{1}(0,3,3)$，所以 $\overrightarrow{A D_{1}}=(0,3,3), \overrightarrow{A C}=(m, 1,0)$； 因为 $B_{1}=(m, 0,3), D=(0,3,0)$，所以 $\overrightarrow{B_{1} D}=(-m, 3,-3)$，因为 $A C \perp B_{1} D$，所以 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B_{1} D}=0$，故 $m=\sqrt{3}$，所以 $\overrightarrow{A C}=(\sqrt{3}, 1,0)$，设 $\vec{n}=(x, y, z)$ 为平面 $A C D_{1}$ 的法向量，则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{A C}=0 \ \vec{n} \cdot \overrightarrow{A D_{1}}=0\end{array}ight.$，令 $x=1$，所以 $\vec{n}=(1,-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ 为平面 $A C D_{1}$ 的一个法向量；因为 $B_{1}(\sqrt{3}, 0,3), C_{1}(\sqrt{3}, 1,3)$，所以 $\overrightarrow{B_{1} C_{1}}=(0,1,0)$ 所以直线 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值 $\sin 	heta=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．

2013 高考数学第 19 题答案解析

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