设三棱锥 V-A B C 的底面是正三角形，侧棱长均相等，…——2019 高考数学第 8 题答案解析

【答案】B

## 【解析】

## 【分析】

本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算。解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小。而充分利用图形特征，则可事倍功半．

【详解】方法 1：如图 $G$ 为 $A C$ 中点，$V$ 在底面 $A B C$ 的投影为 $O$ ，则 $P$ 在底面投影 $D$ 在线段 $A O$ 上，过 $D$作 $D E$ 垂直 $A E$ ，易得 $P E / / V G$ ，过 $P$ 作 $P F / / A C$ 交 $V G$ 于 $F$ ，过 $D$ 作 $D H / / A C$ ，交 $B G$ 于 $H$ ，则 $\alpha=\angle B P F, \beta=\angle P B D, \gamma=\angle P E D, \quad$ 则 $\cos \alpha=\frac{P F}{P B}=\frac{E G}{P B}=\frac{D H}{P B}<\frac{B D}{P B}=\cos \beta, \quad$ 即 $\alpha>\beta$ ， $\tan \gamma=\frac{P D}{E D}>\frac{P D}{B D}=\tan \beta$ ，即 $y>\beta$ ，综上所述，答案为 B。

方法 2：由最小角定理 $\beta<\alpha$ ，记 $V-A B-C$ 的平面角为 $\gamma^{\prime}$（显然 $\gamma^{\prime}=\gamma$ ）

由最大角定理 $\beta<\gamma^{\prime}=\gamma$ ，故选 B．
法 2：（特殊位置）取 $V-A B C$ 为正四面体，$P$ 为 $V A$ 中点，易得
$\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{6} \Rightarrow \sin \alpha=\frac{\sqrt{33}}{6}, \sin \beta=\frac{\sqrt{2}}{3}, \quad \sin \gamma=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，故选 B．
【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角．未能想到利用＂特殊位置法＂，寻求简便解

法．