若函数 f(x)=2 x^ 2 -a x -|a x-2|…——2024 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $(-\sqrt{3},-1) \cup(1, \sqrt{3})$

## 【解析】

【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数 $g(x)=2 \sqrt{x^{2}-a x}$ 与 $h(x)=\left\{\begin{array}{l}a x-3, x \geq \frac{2}{a} \\ 1-a x, x<\frac{2}{a}\end{array}\right.$ ，则两函数图象有唯一交点，分 $a=0 , a>0$ 与 $a<0$ 进行讨论，当 $a>0$ 时，计算函数定义域可得 $x \geq a$ 或 $x \leq 0$ ，计算可得 $a \in(0,2]$ 时，两函数在 $y$ 轴左侧有一交点，则只需找到当 $a \in(0,2]$ 时，在 $y$ 轴右侧无交点的情况即可得；当 $a<0$ 时，按同一方式讨论即可得．

【详解】令 $f(x)=0$ ，即 $2 \sqrt{x^{2}-a x}=|a x-2|-1$ ，
由题可得 $x^{2}-a x \geq 0$ ，
当 $a=0$ 时，$x \in \mathbf{R}$ ，有 $2 \sqrt{x^{2}}=|-2|-1=1$ ，则 $x= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，不符合要求，舍去；
当 $a>0$ 时，则 $2 \sqrt{x^{2}-a x}=|a x-2|-1=\left\{\begin{array}{l}a x-3, x \geq \frac{2}{a} \\ 1-a x, x<\frac{2}{a}\end{array}\right.$ ，
即函数 $g(x)=2 \sqrt{x^{2}-a x}$ 与函数 $h(x)=\left\{\begin{array}{l}a x-3, x \geq \frac{2}{a} \\ 1-a x, x<\frac{2}{a}\end{array}\right.$ 有唯一交点，
由 $x^{2}-a x \geq 0$ ，可得 $x \geq a$ 或 $x \leq 0$ ，
当 $x \leq 0$ 时，则 $a x-2<0$ ，则 $2 \sqrt{x^{2}-a x}=|a x-2|-1=1-a x$ ，
即 $4 x^{2}-4 a x=(1-a x)^{2}$ ，整理得 $\left(4-a^{2}\right) x^{2}-2 a x-1=[(2+a) x+1][(2-a) x-1]=0$ ，
当 $a=2$ 时，即 $4 x+1=0$ ，即 $x=-\frac{1}{4}$ ，
当 $a \in(0,2), x=-\frac{1}{2+a}$ 或 $x=\frac{1}{2-a}>0$（正值舍去），
当 $a \in(2,+\infty)$ 时，$x=-\frac{1}{2+a}<0$ 或 $x=\frac{1}{2-a}<0$ ，有两解，舍去，
即当 $a \in(0,2]$ 时， $2 \sqrt{x^{2}-a x}-|a x-2|+1=0$ 在 $x \leq 0$ 时有唯一解，
则当 $a \in(0,2]$ 时， $2 \sqrt{x^{2}-a x}-|a x-2|+1=0$ 在 $x \geq a$ 时需无解，
当 $a \in(0,2]$ ，且 $x \geq a$ 时，

由函数 $h(x)=\left\{\begin{array}{l}a x-3, x \geq \frac{2}{a} \\ 1-a x, x<\frac{2}{a}\end{array}\right.$ 关于 $x=\frac{2}{a}$ 对称，令 $h(x)=0$ ，可得 $x=\frac{1}{a}$ 或 $x=\frac{3}{a}$ ，
且函数 $h(x)$ 在 $\left(\frac{1}{a}, \frac{2}{a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\frac{2}{a}, \frac{3}{a}\right)$ 上单调递增，
令 $g(x)=y=2 \sqrt{x^{2}-a x}$ ，即 $\frac{\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}}{\frac{a^{2}}{4}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ ，
故 $x \geq a$ 时，$g(x)$ 图象为双曲线 $\frac{(x)^{2}}{\frac{a^{2}}{4}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ 右支的 $x$ 轴上方部分向右平移 $\frac{a}{2}$ 所得，
由 $\frac{(x)^{2}}{\frac{a^{2}}{4}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ 的渐近线方程为 $y= \pm \frac{a}{\frac{a}{2}} x= \pm 2 x$ ，
即 $g(x)$ 部分的渐近线方程为 $y=2\left(x-\frac{a}{2}\right)$ ，其斜率为 2 ，
又 $a \in(0,2]$ ，即 $h(x)=\left\{\begin{array}{l}a x-3, x \geq \frac{2}{a} \\ 1-a x, x<\frac{2}{a}\end{array}\right.$ 在 $x \geq \frac{2}{a}$ 时的斜率 $a \in(0,2]$ ，
令 $g(x)=2 \sqrt{x^{2}-a x}=0$ ，可得 $x=a$ 或 $x=0$（舍去），
且函数 $g(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上单调递增，
故有 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}a\end{array}\right.$ ，解得 $1当 $a<0$ 时，则 $2 \sqrt{x^{2}-a x}=|a x-2|-1=\left\{\begin{array}{l}a x-3, x \leq \frac{2}{a} \\ 1-a x, x>\frac{2}{a}\end{array}\right.$ ，

即函数 $g(x)=2 \sqrt{x^{2}-a x}$ 与函数 $h(x)=\left\{\begin{array}{l}a x-3, x \leq \frac{2}{a} \\ 1-a x, x>\frac{2}{a}\end{array}\right.$ 有唯一交点，
由 $x^{2}-a x \geq 0$ ，可得 $x \geq 0$ 或 $x \leq a$ ，
当 $x \geq 0$ 时，则 $a x-2<0$ ，则 $2 \sqrt{x^{2}-a x}=|a x-2|-1=1-a x$ ，
即 $4 x^{2}-4 a x=(1-a x)^{2}$ ，整理得 $\left(4-a^{2}\right) x^{2}-2 a x-1=[(2+a) x+1][(2-a) x-1]=0$ ，
当 $a=-2$ 时，即 $4 x-1=0$ ，即 $x=\frac{1}{4}$ ，
当 $a \in(-2,0), x=-\frac{1}{2+a}<0$（负值舍去）或 $x=\frac{1}{2-a} 0$ ，
当 $a \in(-\infty, 2)$ 时，$x=-\frac{1}{2+a}>0$ 或 $x=\frac{1}{2-a}>0$ ，有两解，舍去，
即当 $a \in[-2,0)$ 时， $2 \sqrt{x^{2}-a x}-|a x-2|+1=0$ 在 $x \geq 0$ 时有唯一解，
则当 $a \in[-2,0)$ 时， $2 \sqrt{x^{2}-a x}-|a x-2|+1=0$ 在 $x \leq a$ 时需无解，
当 $a \in[-2,0)$ ，且 $x \leq a$ 时，
由函数 $h(x)=\left\{\begin{array}{l}a x-3, x \leq \frac{2}{a} \\ 1-a x, x>\frac{2}{a}\end{array}\right.$ 关于 $x=\frac{2}{a}$ 对称，令 $h(x)=0$ ，可得 $x=\frac{1}{a}$ 或 $x=\frac{3}{a}$ ，
且函数 $h(x)$ 在 $\left(\frac{2}{a}, \frac{1}{a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\frac{3}{a}, \frac{2}{a}\right)$ 上单调递增，
同理可得：$x \leq a$ 时，$g(x)$ 图象为双曲线 $\frac{(x)^{2}}{\frac{a^{2}}{4}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ 左支的 $x$ 轴上方部分向左平移 $\frac{a}{2}$ 所得， $g(x)$ 部分的渐近线方程为 $y=-2\left(x+\frac{a}{2}\right)$ ，其斜率为 -2 ，

又 $a \in[-2,0)$ ，即 $h(x)=\left\{\begin{array}{l}a x-3, x \geq \frac{2}{a} \\ 1-a x, x<\frac{2}{a}\end{array}\right.$ 在 $x<\frac{2}{a}$ 时的斜率 $a \in[-2,0)$ ，
令 $g(x)=2 \sqrt{x^{2}-a x}=0$ ，可得 $x=a$ 或 $x=0$（舍去），

且函数 $g(x)$ 在 $(-\infty, a)$ 上单调递减，
故有 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}>a \\ \frac{3}{a}综上所述，$a \in(-\sqrt{3},-1) \cup(1, \sqrt{3})$ ．
故答案为：$(-\sqrt{3},-1) \cup(1, \sqrt{3})$ ．
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数 $f(x)$ 的零点问题转化为函数 $g(x)=2 \sqrt{x^{2}-a x}$ 与函数 $h(x)=\left\{\begin{array}{l}a x-3, x \geq \frac{2}{a} \\ 1-a x, x<\frac{2}{a}\end{array}\right.$ 的交点问题，从而可将其分成两个函数研究．