已知在 A B C 中， c=2 b cos B, C=…——2021 高考数学第 16 题答案解析

【答案】①$\frac{\pi}{6}$ ；（2）答案不唯一，具体见解析．
【解析】
【分析】①由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求．

【详解】①$\because c=2 b \cos B$ ，则由正弦定理可得 $\sin C=2 \sin B \cos B$ ，
$\therefore \sin 2 B=\sin \frac{2 \pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \because C=\frac{2 \pi}{3}, \quad \therefore B \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right), \quad 2 B \in\left(0, \frac{2 \pi}{3}\right)$ ，
$\therefore 2 B=\frac{\pi}{3}$ ，解得 $B=\frac{\pi}{6}$ ；
（2）若选择①：由正弦定理结合①可得 $\frac{c}{b}=\frac{\sin C}{\sin B}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$ ，
与 $c=\sqrt{2} b$ 矛盾，故这样的 $\triangle A B C$ 不存在；
若选择②：由①可得 $A=\frac{\pi}{6}$ ，
设 $\triangle A B C$ 的外接圆半径为 $R$ ，
则由正弦定理可得 $a=b=2 R \sin \frac{\pi}{6}=R$ ，
$c=2 R \sin \frac{2 \pi}{3}=\sqrt{3} R$,
则周长 $a+b+c=2 R+\sqrt{3} R=4+2 \sqrt{3}$ ，
解得 $R=2$ ，则 $a=2, c=2 \sqrt{3}$ ，
由余弦定理可得 $B C$ 边上的中线的长度为：
$\sqrt{(2 \sqrt{3})^{2}+1^{2}-2 \times 2 \sqrt{3} \times 1 \times \cos \frac{\pi}{6}}=\sqrt{7} ;$
若选择③：由①可得 $A=\frac{\pi}{6}$ ，即 $a=b$ ，
则 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} a^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，解得 $a=\sqrt{3}$ ，
则由余弦定理可得 $B C$ 边上的中线的长度为：
$\sqrt{b^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-2 \times b \times \frac{a}{2} \times \cos \frac{2 \pi}{3}}=\sqrt{3+\frac{3}{4}+\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{2}$ ．