2026_山西选择性考试
11. 已知抛物线E： $y ^ { 2 } = 8 x$ ，有一斜率为 $k \left( k > 0 \right)$ 的直线l过点(-1,0)，点A在抛物线E上，B，C两
点在直线l上，且△ABC为等边三角形，则（
A. 抛物线E的准线方程为x = -2
B. 当直线l与抛物线E无交点时， $k > { \sqrt { 2 } }$
C. 若直线l与抛物线E相交于唯一一点B，则抛物线E的焦点在直线AB上
D. 当k = 2时， $\triangle A B C$ 面积最小值为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 1 5 }$
11. 已知抛物线E： $y ^ { 2 } = 8 x$ ，有一斜率为k(k>0)的直线l过点(-1,0)，点A在抛物线E上，B,C两点
在直线l上，且△ABC为等边三角形，则（
ABD
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，根据抛物线方程得P，进而得出准线方程；B选项，设直线l为 $y = k ( x + 1 )$ ，和抛物线方程联立消去x，令 $\Delta < 0$ 求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点B，假设AB过焦点，则得到 $k _ { A B }$ ，根据两直线的夹角的公式推出 $\angle A B C$ 的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理
【详解】A选项， $y ^ { 2 } = 8 x = 2 p x$ ，则 $p = 4$ ，故准线 $x = - { \frac { p } { 2 } } = - 2$ ，A选项正确；
B选项，设直线l为 $y = k ( x + 1 )$ ，则 $8 y = 8 k x + 8$
联立 $y ^ { 2 } = 8 x$ 得到， $k y ^ { 2 } - 8 y + 8 k = 0$
直线和抛物线无交点，则 $\Delta = 6 4 - 3 2 k ^ { 2 } < 0$
结合 $k > 0$ ，解得 $k > { \sqrt { 2 } }$ ，B选项正确；
C选项，由联立方程 $k y ^ { 2 } - 8 y + 8 k = 0$
若l与E相交于唯一点B，只可能是相切，
则 $\Delta = 6 4 - 3 2 k ^ { 2 } = 0$ ，解得 $k = \sqrt { 2 }$
$$ { \sqrt { 2 } } y ^ { 2 } - 8 y + 8 { \sqrt { 2 } } = 0 $$
$$ y = 2 \sqrt { 2 } $$
$$ B ( 1 , 2 \sqrt { 2 } ) $$
若AB 过焦点F（如图)，由于 $B \big ( 1 , 2 \sqrt { 2 } \big ) , F ( 2 , 0 )$ $k _ { B F } = - 2 \sqrt { 2 }$ $k _ { B C } ^ { 2 } = \sqrt { 2 }$
根据倾斜角的定义， $\tan \angle B F x = - 2 \sqrt { 2 } , \tan \angle B P F = \sqrt { 2 }$
而 $\angle A B C = \angle B F x - \angle B P F$ ，此时 X $\angle A B C$ 的正切值为 $\frac { - 2 { \sqrt { 2 } } - { \sqrt { 2 } } } { 1 - 4 }$ $\sqrt { 2 } \neq \sqrt { 3 }$
即 $\angle A B C \neq 6 0 ^ { \circ }$ ，这与△ABC为等边三角形矛盾，C选项错误；
D选项，当k = 2，此时直线方程为 $y = 2 x + 2$
设 $A { \left( \frac { t ^ { 2 } } { 8 } , t \right) }$ ，则A到l的距离为 $d = \frac { \left| \frac { t ^ { 2 } } { 4 } - t + 2 \right| } { \sqrt { 5 } } = \frac { \frac { ( t - 2 ) ^ { 2 } } { 4 } + 1 } { \sqrt { 5 } } \geq \frac { 1 } { \sqrt { 5 } }$
即等边三角形的高的最小值为 $\frac { 1 } { \sqrt { 5 } }$ ，此时面积 $S = \frac { 1 } { 2 } \times d \times \frac { 2 d } { \sqrt { 3 } } = \frac { d ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } } \geq \frac { \sqrt { 3 } } { 1 5 }$ ，D选项正确.
C选项方法二：求得 $B ( 1 , 2 \sqrt { 2 } )$ ，则 $\overrightarrow { B P } = \left( - 2 , - 2 \sqrt { 2 } \right)$ $\overrightarrow { B F } = \left( 1 , - 2 \sqrt { 2 } \right)$
$$ \cos \angle P B F = \frac { \overrightarrow { B P } \cdot \overrightarrow { B F } } { \left| \overrightarrow { B P } \right| \cdot \left| \overrightarrow { B F } \right| } = \frac { - 2 + \left( - 2 \sqrt { 2 } \right) ^ { 2 } } { \sqrt { \left( - 2 \right) ^ { 2 } + \left( - 2 \sqrt { 2 } \right) ^ { 2 } } \sqrt { 1 ^ { 2 } + \left( - 2 \sqrt { 2 } \right) ^ { 2 } } } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \neq \frac { 1 } { 2 } \ , $$
则 $\angle \angle P B F \ne 6 0 ^ { \circ }$ ，抛物线E的焦点不在直线AB上，故C错误.
D选项方法二：A到BC的最小距离可转化为抛物线和BC平行的切线，求得两平行线的距离即可，由于 $k _ { B C } = 2$ ，设直线m为 $y = 2 x + p$
联立 $y ^ { 2 } = 8 x$ ，得到 $y ^ { 2 } - 4 y + 4 p = 0$
由 $\Delta = 0 \Longrightarrow p = 1$ ，此时直线m为 $y = 2 x + 1$
由平行线的距离公式可推出l，m直线间距离为 $\frac { 1 } { \sqrt { 5 } }$ ，其余同上
