（5分）（2009•陕西）定义在 R 上的偶函数 f (…——2009 高考数学第 12 题答案解析

【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】压轴题；探究型．
【分析】由＂ $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in(-\infty, 0]\left(\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}\right)$ ，有 $\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)\right)>0$＂可等有＂ $x_{2}>x_{1}$ 时，$f\left(x_{2}\right)>f\left(x_{1}\right) \prime$ ，符合增函数的定义，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 为增函数，再由 $f(x)$ 为偶函数，则知 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 为减函数，
由 $n+1>n>n-1>0$ ，可得结论。
【解答】解： $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in(-\infty, 0]\left(\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}\right)$ ，有 $\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)\right)>0$
$\therefore \mathrm{x}_{2}>\mathrm{x}_{1}$ 时， $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)>\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)$
$\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(-\infty, 0]$ 为增函数
$\because f(x)$ 为偶函数
$\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(0,+\infty)$ 为减函数
而 $\mathrm{n}+1>\mathrm{n}>\mathrm{n}-1>0$ ，
$\therefore \mathrm{f}(\mathrm{n}+1)<\mathrm{f}(\mathrm{n})<\mathrm{f}(\mathrm{n}-1)$
$\therefore \mathrm{f}(\mathrm{n}+1)<\mathrm{f}(-\mathrm{n})<\mathrm{f}(\mathrm{n}-1)$
故选C．
【点评】本题主要考查单调性定义的变形与应用，还考查了奇偶性在对称区间上的单调性 ，结论是：偶函数在对称区间上的单调相反，奇函数在对称区间上的单调性相同。