（本题满分 12 分） 在 A B C 中，角 A, B,…——2016 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（I）证明详见解析；（II） 4 ．

## 【解析】

试题分析：（I）已知条件式中有边有角，利用正弦定理，将边角进行转化（本小题是将边转化为角），结合诱导公式进行证明；（II）从已知式可以看出首先利用余弦定理解出 $\cos A=\frac{3}{5}$ ，再根据平方关系解出 $\sin \mathrm{A}$ ，代入（I）中等式 $\sin A \sin B=\sin A \cos B+\cos A \sin B$ ，解出 $\tan B$ 的值．

试题解析：（I）根据正弦定理，可设 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=k(k>0)$ ．
则 $a=k \sin A, b=k \sin B, c=k \sin C$ ．
代入 $\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{\sin C}{c}$ 中，有
$\frac{\cos A}{k \sin A}+\frac{\cos B}{k \sin B}=\frac{\sin C}{k \sin C}$ ，变形可得
$\sin A \sin B=\sin A \cos B+\cos A \sin B=\sin (A+B)$ ．
在 $\triangle A B C$ 中，由 $A+B+C=\pi$ ，有 $\sin (A+B)=\sin (\pi-C)=\sin C$ ，

所以 $\sin A \sin B_{=}=\sin C$ ．
（II）由已知，$b^{2}+c^{2}-a^{2}=\frac{6}{5} b c$ ，根据余弦定理，有
$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{3}{5}$.
所以 $\sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{4}{5}$ ．
由（I）， $\sin A \sin B=\sin A \cos B+\cos A \sin B$ ，
所以 $\frac{4}{5} \sin B=\frac{4}{5} \cos B+\frac{3}{5} \sin B$ ，
故 $\tan B=\frac{\sin B}{\cos B}=4$ ．
考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系．
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力。在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题。在角的变化过程中注意三角形的内角和为 $180^{\circ}$ 这个结论，否则难以得出结论．