已知函数 f(x)= |x-a^ 2 |+|x-2 a+1…——2020 高考数学第 23 题答案解析

【答案】
①$\left\{x \left\lvert\, x \leq \frac{3}{2}\right.\right.$ 或 $\left.x \geq \frac{11}{2}\right\}$ ；
②$(-\infty,-1] \cup[3,+\infty)$ ．

【解析】

【分析】
（1）分别在 $x \leq 3 , 3<x<4$ 和 $x \geq 4$ 三种情况下解不等式求得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得到 $f(x) \geq(a-1)^{2}$ ，由此构造不等式求得结果．
【详解】①当 $a=2$ 时，$f(x)=|x-4|+|x-3|$ ．
当 $x \leq 3$ 时，$f(x)=4-x+3-x=7-2 x \geq 4$ ，解得：$x \leqslant \frac{3}{2}$ ；
当 $3<x<4$ 时，$f(x)=4-x+x-3=1 \geq 4$ ，无解；
当 $x \geq 4$ 时，$f(x)=x-4+x-3=2 x-7 \geq 4$ ，解得：$x \geq \frac{11}{2}$ ；
综上所述：$f(x) \geq 4$ 的解集为 $\left\{x \left\lvert\, x \leq \frac{3}{2}\right.\right.$ 或 $\left.x \geq \frac{11}{2}\right\}$ ．
②$f(x)=\left|x-a^{2}\right|+|x-2 a+1| \geq\left|\left(x-a^{2}\right)-(x-2 a+1)\right|=\left|-a^{2}+2 a-1\right|=(a-1)^{2}$（当且
仅当 $2 a-1 \leq x \leq a^{2}$ 时取等号），
$\therefore(a-1)^{2} \geq 4$ ，解得：$a \leq-1$ 或 $a \geq 3$ ，
$\therefore a$ 的取值范围为 $(-\infty,-1] \cup[3,+\infty)$ ．
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．