记 A B C 是内角 A , B, C 的对边分别为 a…——2021 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；② $\cos \angle A B C=\frac{7}{12}$ ．

## 【解析】

【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 $B D=\frac{a c}{b}$ ，结合已知即可证结论．
（2）由题设 $B D=b, A D=\frac{2 b}{3}, D C=\frac{b}{3}$ ，应用余弦定理求 $\cos \angle A D B , \cos \angle C D B$ ，又 $\angle A D B=\pi-\angle C D B$ ，可得 $2 a^{2}+\frac{b^{4}}{a^{2}}=\frac{11 b^{2}}{3}$ ，结合已知及余弦定理即可求 $\cos \angle A B C$ ．

【详解】

①由题设，$B D=\frac{a \sin C}{\sin \angle A B C}$ ，由正弦定理知：$\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin \angle A B C}$ ，即 $\frac{\sin C}{\sin \angle A B C}=\frac{c}{b}$ ，
$\therefore B D=\frac{a c}{b}$ ，又 $b^{2}=a c$ ，
$\therefore B D=b$ ，得证．
（2）由题意知：$B D=b, A D=\frac{2 b}{3}, D C=\frac{b}{3}$ ，
$\therefore \cos \angle A D B=\frac{b^{2}+\frac{4 b^{2}}{9}-c^{2}}{2 b \cdot \frac{2 b}{3}}=\frac{\frac{13 b^{2}}{9}-c^{2}}{\frac{4 b^{2}}{3}}$ ，同理 $\cos \angle C D B=\frac{b^{2}+\frac{b^{2}}{9}-a^{2}}{2 b \cdot \frac{b}{3}}=\frac{\frac{10 b^{2}}{9}-a^{2}}{\frac{2 b^{2}}{3}}$ ，
$\because \angle A D B=\pi-\angle C D B$ ，
$\therefore \frac{\frac{13 b^{2}}{9}-c^{2}}{\frac{4 b^{2}}{3}}=\frac{a^{2}-\frac{10 b^{2}}{9}}{\frac{2 b^{2}}{3}}$ ，整理得 $2 a^{2}+c^{2}=\frac{11 b^{2}}{3}$ ，又 $b^{2}=a c$ ，
$\therefore 2 a^{2}+\frac{b^{4}}{a^{2}}=\frac{11 b^{2}}{3}$ ，整理得 $6 a^{4}-11 a^{2} b^{2}+3 b^{4}=0$ ，解得 $\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{1}{3}$ 或 $\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{3}{2}$ ，

由余弦定理知： $\cos \angle A B C=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{4}{3}-\frac{a^{2}}{2 b^{2}}$ ，

当 $\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{1}{3}$ 时, $\cos \angle A B C=\frac{7}{6}>1$ 不合题意；当 $\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{3}{2}$ 时， $\cos \angle A B C=\frac{7}{12}$ ；
综上， $\cos \angle A B C=\frac{7}{12}$ ．
【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及 $\angle A D B=\pi-\angle C D B$ 得到 $a, b, c$ 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求 $\cos \angle A B C$ ．