已知 α 为第一象限角， β 为第三象限角， tan α+…——2024 高考数学第 13 题答案解析

【答案】 $-\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

【解析】

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得 $\tan (\alpha+\beta)=-2 \sqrt{2}$ ，再缩小 $\alpha+\beta$ 的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案．

【详解】法一：由题意得 $\tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}=\frac{4}{1-(\sqrt{2}+1)}=-2 \sqrt{2}$ ，
因为 $\alpha \in\left(2 k \pi, 2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right), \beta \in\left(2 m \pi+\pi, 2 m \pi+\frac{3 \pi}{2}\right), k, m \in \mathrm{Z}$ ，
则 $\alpha+\beta \in((2 m+2 k) \pi+\pi,(2 m+2 k) \pi+2 \pi), k, m \in \mathrm{Z}$ ，
又因为 $\tan (\alpha+\beta)=-2 \sqrt{2}<0$ ，

则 $\alpha+\beta \in\left((2 m+2 k) \pi+\frac{3 \pi}{2},(2 m+2 k) \pi+2 \pi\right), k, m \in \mathrm{Z}$ ，则 $\sin (\alpha+\beta)<0$ ，
则 $\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)}=-2 \sqrt{2}$ ，联立 $\sin ^{2}(\alpha+\beta)+\cos ^{2}(\alpha+\beta)=1$ ，解得 $\sin (\alpha+\beta)=-\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．

法二：因为 $\alpha$ 为第一象限角，$\beta$ 为第三象限角，则 $\cos \alpha>0, \cos \beta<0$ ，
$\cos \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sqrt{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2} \alpha}}, \quad \cos \beta=\frac{\cos \beta}{\sqrt{\sin ^{2} \beta+\cos ^{2} \beta}}=\frac{-1}{\sqrt{1+\tan ^{2} \beta}}$,
则 $\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta=\cos \alpha \cos \beta(\tan \alpha+\tan \beta)$
$=4 \cos \alpha \cos \beta=\frac{-4}{\sqrt{1+\tan ^{2} \alpha} \sqrt{1+\tan ^{2} \beta}}=\frac{-4}{\sqrt{(\tan \alpha+\tan \beta)^{2}+(\tan \alpha \tan \beta-1)^{2}}}=\frac{-4}{\sqrt{4^{2}+2}}=-\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
故答案为：$-\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．