（本小题满分 12 分） 在 A B C 中， A, B…——2009 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。

解：（I）$\because A , B$ 为锐角， $\sin B=\frac{\sqrt{10}}{10}, \therefore \cos B=\sqrt{1-\sin ^{2} b}=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

$$ \begin{gathered} \text { 又 } \cos 2 A=1-2 \sin ^{2} A=\frac{3}{5}, \\ \therefore \sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}, \cos A=\sqrt{1-\sin ^{2} A}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \\ \therefore \cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B=\frac{2 \sqrt{5}}{5} \times \frac{3 \sqrt{10}}{10}-\frac{\sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered} $$

$$ \begin{aligned} & \because 0

（II）由（I）知 $C=\frac{3 \pi}{4}, \therefore \sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 得

$$ \sqrt{5} a=\sqrt{10} b=\sqrt{2} c \text {, 即 } a=\sqrt{2} b, c=\sqrt{5} b $$

$$ \begin{aligned} & \mathrm{Q} a-b=\sqrt{2}-1, \\ & \therefore \sqrt{2} b-b=\sqrt{2}-1, \quad \therefore b=1 \\ & \therefore a=\sqrt{2}, c=\sqrt{5} \end{aligned} $$